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O módulo ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição de móduloEditar

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

 

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

 
Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Definição de função modularEditar

Uma função modular é uma aplicação de   em   quando cada   está associado um elemento  .[1]

Logo uma função modular é uma função definida por partes, e sua forma mais geral é dada por:

 

Essa é a forma mais geral de uma função modular, porém é possível que haja diferentes tipos de funções combinadas com funções modulares.

PropriedadesEditar

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

   

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto de um número real.[2]

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

    É não negativo
    É positivo definido
    É multiplicativo
    É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

    Simetria
    Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
    Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
    Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
    (equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

 
 

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

   
 

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

  •  
  •  
  •  

Notas e referências

  1. Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos de Matemática elementar 1, conjuntos, funções. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704556 
  2. Stewart, James B. (2001). Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1 , p. A5
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