Grupo de permutação
Em matemática e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de elementos de um conjunto M, com a operação binária de composição de funções.
O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações.
O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de um conjunto.
Exemplos
editar- O grupo é o grupo de todas as permutações do conjunto {1, 2, … n}.
- Em particular, temos que:
- é o grupo trivial de um único elemento
- é isomorfo a
- é o menor grupo não-abeliano (precisamente: qualquer grupo não-abeliano tem mais elementos que ele ou é isomorfo a ele)
- não é solúvel (o que tem implicações na tentativa de resolver uma equação do quinto grau por radicais).
Notação
editarAlém da permutação identidade, a permutação mais simples é a permutação circular, representada por e definida por para , e caso .
Um resultado importante é que o grupo é gerado pelas duas permutações (1, 2) e (1, 2, …, n), no seguinte sentido: o menor subgrupo de que inclui essas duas permutações é o próprio .
Algumas vezes, quando não existe chance de confusão, as vírgulas são omitidas, por exemplo (1 2), (1 3 2)
Exemplo
editarComo exemplo desta notação, será escrito o grupo S3, das permutações em um conjunto de três elementos. Sem perda de generalidade, este conjunto será { 1, 2, 3 }.
Sabe-se, da análise combinatória, que este grupo possui 3! = 6 elementos.
A função identidade, que não altera nenhum elemento, será representada por (). Temos duas permutações circulares de todos os elementos, (1 2 3) e (1 3 2), e três transposições de dois elementos, (2 3), (1 3) e (1 2).
Para montar a tabela do grupo, devemos fazer as operações. Por exemplo, (1 2) (1 2 3) corresponde a levar 1→2, 2→3, 3→1 e, em seguida, levar 1→2 e 2→1, ou seja, 1→1, 2→3 e 3→2. Logo (1 2) (1 2 3) = (2 3).
A tabela deste grupo, então, é:
() | (1 2 3) | (1 3 2) | (2 3) | (1 3) | (1 2) | |
---|---|---|---|---|---|---|
() | () | (1 2 3) | (1 3 2) | (2 3) | (1 3) | (1 2) |
(1 2 3) | (1 2 3) | (1 3 2) | () | (1 2) | (2 3) | (1 3) |
(1 3 2) | (1 3 2) | () | (1 2 3) | (1 3) | (1 2) | (2 3) |
(2 3) | (2 3) | (1 3) | (1 2) | () | (1 2 3) | (1 3 2) |
(1 3) | (1 3) | (1 2) | (2 3) | (1 3 2) | () | (1 2 3) |
(1 2) | (1 2) | (2 3) | (1 3) | (1 2 3) | (1 3 2) | () |
em que linha * coluna gera o elemento da tabela.
Transposições
editarAs permutações da forma (i, j) são chamadas de transposições. Outro resultado importante é que é gerado pelas transposições.
Outro resultado importante é que se a identidade pode ser escrita por um produto de transposições, , então n é um número par.
Com isso, podemos definir o que são permutações pares e permutações ímpares, como aquelas que podem ser escritas, respectivamente, como um produto de um número par ou ímpar de transposicões.
Prova-se também que, para n ≥ 3, o grupo das permutações pares An é gerado pelas permutações de forma (i, j, k).