Identidades logarítmicas

Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.

Identidades algébricas ou leis

Usando operações simples

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

Operações simples com logaritmos

Tipo de operação	identidade	Justificativa	Observação
Produto	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}$
Divisão	$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}$	$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)\neq {\frac {\log _{b}{x}}{\log _{b}{y}}}$. Por exemplo, $\log _{10}\!\left({\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}\right)\cong -0,17$, o que não é igual a ${\frac {\log _{10}{2}}{\log _{10}{3}}}\cong {\frac {0,3010}{0,4771}}\cong 0,63$
Exponenciação	$\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$	$(b^{c})^{d}=b^{cd}$	$\log _{b}(x^{d})\neq \left[\log _{b}(x)\right]^{d}=\log _{b}^{d}(x)$. Por exemplo, $\log _{10}(2^{3})\cong 0,90$, o que não é igual a $\left[\log _{10}(2)\right]^{3}\cong 0,027$
Radiciação	$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
Exponenciação	$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$
Produto e exponenciação	$c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$	$\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$

Onde $b,$ $x,$ e $y$ são números reais positivos e $b\neq 1.$ Tanto $c$ quanto $d$ são números reais.

Identidades triviais

$\log _{b}(1)=0$	porque	$b^{0}=1$
$\log _{b}(b)=1$	porque	$b^{1}=b$

Note-se que $\log _{b}(0)$ é indefinido porque não existe qualquer número $x$ tal que $b^{x}=0.$ De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de $\log _{b}(x)$ quando $x=0.$

Cancelando exponenciais

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).

$b^{\log _{b}(x)}=x$	porque	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x$
$\log _{b}(b^{x})=x$	porque	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x$

Mudança de base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log₁₀, mas não para log₂. Para encontrar-se log₂(3), deve-se calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

Demonstração

Considerando-se $y=\log _{a}b.$

Então $a^{y}=b.$

Tomando-se $\log _{c}$ em ambos os lados: $\log _{c}a^{y}=\log _{c}b$

Simplificando e resolvendo para $y:$ $y\log _{c}a=\log _{c}b$

$y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Dado que $y=\log _{a}b,$ então $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Esta fórmula tem algumas consequências:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

$-\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b$

$\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},$

onde $\scriptstyle \pi$ é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo

$\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.$

Soma/subtração

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$

a qual resulta nos casos especiais:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+{\frac {c}{a}})$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-{\frac {c}{a}})$

Note-se que na prática $a$ e $c$ tem que ser ligados no lado direito das equações se $c>a.$ Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se $a=c$ uma vez que o logaritmo de zero não é definido.

Mais genericamente:

$\log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}{a_{i}}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}}\right)$

onde $a_{0},\cdots ,a_{N}>0.$

Identidades do cálculo

Limites

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

Derivadas de funções logarítmicas

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$

${d \over dx}\ln x={1 \over x\ln e}={1 \over x},\qquad x>0$

Definição integral

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Integrais de funções logarítmicas

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Então,

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

Aproximando grandes números

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que log_b(a) + log_b(c) = log_b(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 2^32.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log₁₀(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 10^9.808.357 * 10^0,09543 ≈ 1,25 * 10^9.808.357.

Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

Identidades logarítmicas complexas

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

Definições

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.

ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.

Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].

Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$

$e^{\operatorname {Log} (z)}=z$

A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.

log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem e^v = z

arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.

Quando k é qualquer inteiro:

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$

$\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$

$e^{\log(z)}=z$

Constantes

Principais formas de valoração:

$\operatorname {Log} (1)=0$

$\operatorname {Log} (e)=1$

Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:

$\log(1)=0+2\pi ik$

$\log(e)=1+2\pi ik$

Soma

Principais formas de valoração:

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

Formas de valoração múltipla:

$\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$

$\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

Potências

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Principais formas de valoração:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$

$\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$

Formas de valoração múltipla:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$

Onde k₁, k₂ são quaisquer inteiros:

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$

Referências

• Logarithm in Mathwords