A Integral de Tchebychev é formulada por
Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894)
Teorema —
∫
x
p
(
1
−
x
)
q
d
x
=
B
(
x
;
1
+
p
,
1
+
q
)
{\displaystyle \int x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)}
onde
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle B(x;a,b)}
função beta incompleta .[ 1]
editar
Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:[ 2]
∫
x
m
(
a
+
b
x
n
)
p
d
x
{\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx}
onde
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
números reais e
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
números racionais , não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
[ 3] [ 4]
p
{\displaystyle p}
número inteiro ;Expande-se
(
a
+
b
x
n
)
p
{\displaystyle (a+b\,x^{n})^{p}}
binomial , escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples
x
i
c
=
x
i
c
{\displaystyle {\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}}
x
=
t
r
{\displaystyle x=t^{r}}
r
{\displaystyle r}
denominadores
c
{\displaystyle c}
[ 5]
m
+
1
n
{\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}
Substitui-se
a
+
b
x
n
=
t
k
{\displaystyle a+b\,x^{n}=t^{k}}
k
{\displaystyle k}
p
{\displaystyle p}
[ 4]
x
=
t
k
−
a
b
n
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}}
x
m
=
(
t
k
−
a
b
)
m
n
{\displaystyle x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}}
[ 6]
p
+
m
+
1
n
{\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}
Substitui-se
a
x
−
n
+
b
=
t
k
{\displaystyle ax^{-n}+b=t^{k}}
k
{\displaystyle k}
p
{\displaystyle p}
[ 5] [ 4] Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares .[ 7]
∫
x
3
(
1
+
2
x
2
)
−
3
2
d
x
{\displaystyle \int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx}
[ 4]
p
=
−
3
2
{\displaystyle p=-{\frac {3}{2}}}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
m
=
3
{\displaystyle m=3}
m
+
1
n
=
3
+
1
2
=
2
{\displaystyle {\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2}
Logo,
1
+
2
x
2
=
z
2
⟶
x
=
z
2
−
1
2
⟶
d
x
=
1
2
z
z
2
−
1
d
z
{\displaystyle 1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz}
Assim,
F
(
x
)
=
∫
(
z
2
−
1
2
)
3
2
(
z
2
)
−
3
2
z
(
z
2
−
1
)
−
1
2
d
z
=
1
4
∫
z
−
2
(
z
2
−
1
)
d
z
=
1
4
∫
(
1
−
1
z
2
)
d
z
=
1
4
(
z
+
1
z
)
+
C
=
1
4
(
1
+
2
x
2
+
1
1
+
2
x
2
)
+
C
.
{\displaystyle F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.}
↑ Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral» . mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019 ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial» , Enciclopédia de Matemática ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer ↑ «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics» . www.encyclopediaofmath.org . Consultado em 28 de outubro de 2019 ↑ a b c d Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 ↑ a b Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF) . Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion ↑ Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF) . ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials» , Enciclopédia de Matemática ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
![{\displaystyle {\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a2c00b0c4daabd66cc8914e6f03ebd9d876654)
![{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340057faa0b07357275c2cfe80f3a7f7c2b70af6)
