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Número inteiro

número que pode ser escrito sem uma componente fracionária ou decimal

Índice

Os números inteiros são constituídos dos números naturais e seus simétricos negativos, incluindo o zero.[1] O conjunto de todos os números inteiros é representado pela letra , originada da palavra alemã Zahl , "números").

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.

Subconjuntos de Editar

  Conjunto dos inteiros não-nulos  

 +   Conjunto dos inteiros não negativos  

 +   Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero  

 -   Conjunto dos inteiros não positivos  

 -   Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero  


Propriedades Básicas das operações (adição) e (multiplicação):[2]Editar

Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de anel de integridade. O campo dos inteiros,  , é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:

Para todos  :

Fechamento das operaçõesEditar

  •   [a operação   é fechada]
  •   [a operação   é fechada]

Associatividade das operaçõesEditar

  •   [associatividade da  ]
  •   [associativa da  ]

Existência de elemento neutroEditar

  •   [0 é o elemento neutro da  ]
  •   [1 é o elemento neutro da  ]

ComutatividadeEditar

  •   [comutatividade da  ]
  •   [comutatividade da  ]

Existência de inverso na adiçãoEditar

  •   tal que   [  é o simétrico de  ]

Distributividade da multiplicaçãoEditar

  •   [distributividade da  ]

Integridade da multiplicaçãoEditar

  •     ou   [integridade da  ]

Demonstrações usando as propriedades básicasEditar

  Unicidade do elemento neutro da multiplicação

Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação   e  , com  

Como   é elemento neutro da multiplicação, então:  

Como   é elemento neutro da multiplicação, então:  

Temos:   [Comutatividade da multiplicação]

 

É absurdo, pois   é diferente de   por hipótese.

Então o elemento neutro da multiplicação é único.

  Unicidade do elemento simétrico

Vamos supor que existem dois simétricos   e   de  , tal que  .

  [Existência do elemento neutro]

  [Existência do inverso na adição]

  [Associativa]

  [Comutativa]

  [Associativa]

  [Existência do elemento neutro]

Notação para o simétrico de   é  .

Como por hipótese   não podemos ter  .

Logo o simétrico da adição é único.

Com isso podemos definir a subtração:

 

  Multiplicação por  

   

 

 

 

  Distributividade

 

  [Comutativa]

  [Distributiva e Comutativa]

Proposição (leis do cancelamento)[2]Editar

 Sendo   e   números inteiros:

   

Observe que, para     e  

Logo temos,   (vem da definição de soma em  )

Agora podemos provar:

 

 

  [Associatividade]

 

 

  Sendo   e   números inteiros

   

 

  [Comutatividade]

  [Distributiva]

Logo   ou  , como  , por hipótese temos:

 

 

 

 

Relação de ordem nos inteiros[2]Editar

Temos que se   ou   isso significa que  

Com isso os números inteiros ficam divididos em:

  Inteiros não negativos

 

  Inteiros não positivos

 

  Inteiros positivos

 

  Inteiros negativos

 

Observação: temos   no caso particular  , temos  , somente se  

Notação: 

As relações   e   são compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme os resultados:

Proposição:

Sendo  

  A relação de ordem é preservada na adição:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta demonstração é de forma análoga à anterior.

  A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:

 

Observe que quando  

  para  , ou seja,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  para  , ou seja,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Valor absoluto de um número inteiro[2]Editar

O valor absoluto de um número inteiro   é a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0):

 

Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.

Exemplo:

 ,

 

Conceitos básicos de divisibilidade[2]Editar

O divisor de um número inteiro  , é todo inteiro   capaz de transformar o inteiro   num produto de inteiros:   (para algum número inteiro  ).

Sempre que   for divisor de  , também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:

 "o inteiro   divide  ", o que pode ser abreviado com a notação:   ;

 "o inteiro   é múltiplo de  "

Exemplo:

Os divisores de   são  

Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:

 

Atenção:

  • zero só é divisor de si mesmo;
  • todos os inteiros são divisores de zero.
DemonstraçõesEditar

  Se   é divisor de  , então   também é.

Hipótese:  

Tese:  

Temos que  

Então  

 

 , sendo  

 , pela definição de divisor  

  Se   é divisor de   e   é divisor de  , então   ou  

Hipótese:   e  

Tese:  

Temos que  ,  

 ,  

 

  ou  

  • Para  

 

 

  • Para  

 

 

Número primo e números relativamente primos[2]Editar

Como   sempre são divisores de cada número inteiro  , dizemos que eles são os divisores triviais, ou os divisores impróprios, de  .

Nos casos em que   e  , temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de  , temos exatamente quatro divisores triviais.

Número primo é todo inteiro   cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro   com exatamente quatro divisores:  .

Número composto é todo inteiro   que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro   com cinco ou mais divisores.

Chamamos de divisor comum de dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.

Exemplo:

Os divisores de   são  , enquanto que os divisores de   são  . Assim, os divisores comuns de   e   são  .

Dizemos que dois números inteiros são relativamente primos, ou primos entre si se tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviais   e  .

Proposição: todo número primo que não dividir um inteiro   dado, é relativamente primo com  .

Demonstração: Sendo   um primo dado e   um número inteiro. Temos que os divisores de   são  ,  ,   e  , como   não divide  , seus únicos divisores comuns serão   e  .

Máximo divisor comum (mdc)[2]Editar

Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação   indicará o máximo divisor comum dos inteiros  ,  .

Exemplo:

Temos  , pois os divisores comuns de   e   são   e  .

Note que:

  • o   sempre existe, a menos que  .

 

  • o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (pois   sempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores de  estão entre   e  ).
  • o  , em particular, sempre é positivo.
  •  .
  • Dizer que dois números   e   são primos entre si, é o mesmo que dizer que  .

  Fatoração: sendo  , com   inteiros, dizemos que   são fatores de   e que  é uma fatoração desse  .

Ex:  

O mdc também pode ser calculado à partir do Algoritmo de Euclides.

Teorema da divisão euclidianaEditar

A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros,   corresponde ao todo, e   corresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja:

  • A divisão exata de   por   equivale a dizer que existe um número inteiro   tal que:  .

 Exemplo:

 

 

  • A divisão inexata de   por   equivale a dizer que existe um número inteiro   tal que:  , onde   (resto) é menor que  

 Exemplo:

 

 

Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividí-las em: inexatas por falta (a mais utilizada, como  ) e inexatas por excesso (como  ).

Teorema fundamental da aritméticaEditar

Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (exceto   e  ), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética.

A fatoração em primos de um inteiro  ,   pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo:

  • Existem primos  possivelmente repetidos, tais que  .
  • Existem primos  tais que  .
  • Existem primos distintos  , e respectivos inteiros positivos  , tais que  .

Assim, por exemplo,

 

 

 

 

Propriedades relativas à ordemEditar

Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

  1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
  2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

AplicaçõesEditar

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação, normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (  para bytes,   para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas de inteligência artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

RSAEditar

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

Referências

  1. «Conjunto dos números inteiros». Mundo Educação. Consultado em 21 de Julho de 2016. 
  2. a b c d e f g Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos Ed. 2. [S.l.]: UFRGS. ISBN 9788538601289 

Ver tambémEditar