A interpolação trigonométrica é um método de aproximar uma função por meio de uma soma de funções trigonométricas, isto é, funções seno e cosseno , de diferentes frequências, o objetivo da interpolação trigonométrica é encontrar uma função que passe por um determinado conjunto de pontos de dados, mas que também tenha um comportamento suave e periódico.[ 1]
Na interpolação trigonométrica, a função é representada como uma série de Fourier , que é uma soma infinita de funções trigonométricas com diferentes frequências e coeficientes. Escolhendo as frequências e coeficientes apropriados, a série de Fourier pode ser usada para aproximar os pontos de dados.[ 2]
A interpolação trigonométrica tem aplicações em muitas áreas, incluindo processamento de sinais, compressão de áudio e imagem e análise numérica. Também é usada no estudo de análise harmônica e análise de Fourier.[ 3]
O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:
p
(
x
)
=
a
0
+
∑
j
=
1
n
a
j
cos
(
j
x
)
+
∑
j
=
1
n
b
j
sin
(
j
x
)
.
{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cos(jx)+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sin(jx).\,}
com
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
a
0
,
a
1
,
.
.
.
a
n
e
b
0
,
b
1
,
.
.
.
,
b
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},...a_{n}e\ b_{0},b_{1},...,b_{n}}
f
(
x
k
)
=
y
k
{\displaystyle f(x_{k})=y_{k}}
, onde
k
=
0
,
1
,
2...
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2...n-1}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
0
≤
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
N
−
1
<
2
π
.
{\displaystyle 0\leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{N-1}<2\pi .\,}
O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.
Se o número de pontos for ímpar:
m
=
n
−
1
2
{\displaystyle m={\frac {n-1}{2}}}
Ψ
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
k
=
1
m
[
A
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
)
+
B
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
)
]
{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]}
m
=
n
2
{\displaystyle m={\frac {n}{2}}}
Ψ
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
k
=
1
m
−
1
[
A
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
)
+
B
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
)
]
+
A
m
2
⋅
cos
(
m
⋅
x
)
{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x)}
A
j
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
[
f
(
x
k
)
⋅
cos
(
j
⋅
x
k
)
]
{\displaystyle A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})]}
B
j
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
[
f
(
x
k
)
⋅
sin
(
j
⋅
x
k
)
]
{\displaystyle B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})]}
Utilizando a fórmula de De Moivre , podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
e
i
k
x
=
c
o
s
(
k
x
)
+
i
s
e
n
(
k
x
)
{\displaystyle e^{ikx}=cos(kx)+isen(kx)}
p
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
c
k
e
i
k
x
,
{\displaystyle p(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},\,}
onde
c
0
=
a
0
{\displaystyle c_{0}=a_{0}}
c
k
=
1
2
(
a
k
+
i
b
k
)
{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+ib_{k})}
c
−
k
=
1
2
(
a
k
−
i
b
k
)
{\displaystyle c_{-}k={\frac {1}{2}}(a_{k}-ib_{k})}
z
=
e
i
x
{\displaystyle z=e^{ix}}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
p
n
(
z
)
=
∑
k
=
−
n
n
c
k
z
k
,
{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}z^{k},\,}
z
n
p
n
(
z
)
{\displaystyle z^{n}p_{n}(z)}
≤
2
n
.
{\displaystyle \leq 2n.}
p
n
(
z
k
)
=
f
(
t
k
)
,
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
2
n
{\displaystyle p_{n}(z_{k})=f(t_{k}),\qquad k=0,1,2,...,2n}
Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para
f
(
t
)
=
e
s
i
n
t
+
c
o
s
t
{\displaystyle f(t)=e^{sint+cost}}
[
0
;
2
]
{\displaystyle [0;2]}
p
2
(
t
)
=
a
0
2
+
c
1
c
o
s
t
+
c
2
c
o
s
t
+
b
1
s
i
n
t
+
b
2
s
i
n
2
t
{\displaystyle p_{2}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+c_{1}cost+c_{2}cost+b_{1}sint+b_{2}sin2t}
p
2
(
t
)
=
e
s
i
n
t
l
+
c
o
s
t
l
{\displaystyle p_{2}(t)=e^{sint_{l}+cost_{l}}}
t
l
=
2
π
5
l
{\displaystyle t_{l}={\frac {2}{\pi }}{5}l}
l
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4.
{\displaystyle l=0,1,2,3,4.}
a
l
=
2
2
n
+
1
∑
k
=
0
2
n
f
(
t
k
)
c
o
s
l
t
k
,
{\displaystyle a_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})coslt_{k},\,}
b
l
=
2
2
n
+
1
∑
k
=
0
2
n
f
(
t
k
)
s
i
n
l
t
k
,
{\displaystyle b_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})sinlt_{k},\,}
a
0
=
3
,
12764
,
a
1
=
1
,
24872
,
a
2
=
0
,
09426
,
b
1
=
1
,
27135
,
b
2
=
0
,
49441
{\displaystyle a_{0}=3,12764,a_{1}=1,24872,a_{2}=0,09426,b_{1}=1,27135,b_{2}=0,49441}
Interpolar os seguintes pontos:
k
0
1
2
3
f
k
1
3
−
2
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c||cccc|}k&0&1&2&3\\f_{k}&1&3&-2&-1\end{array}}}
n
=
4
{\displaystyle n=4\,}
m
=
n
2
=
2
{\displaystyle m={\frac {n}{2}}=2}
x
k
=
k
⋅
2
π
4
⇒
x
k
=
{
0
,
π
2
,
π
,
3
2
π
}
{\displaystyle x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{4}}\Rightarrow x_{k}=\left\{0,\ {\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3}{2}}\pi \right\}}
A
0
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
k
)
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
k
⋅
0
)
=
1
2
(
1
⋅
1
+
3
⋅
1
−
2
⋅
1
−
1
⋅
1
)
=
1
2
{\displaystyle A_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot 0)={\frac {1}{2}}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)={\frac {1}{2}}}
A
1
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
cos
(
0
)
+
3
⋅
cos
(
π
2
)
−
2
⋅
cos
(
π
)
−
1
⋅
cos
(
3
2
π
)
]
=
3
2
{\displaystyle A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos({\frac {\pi }{2}})-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos({\frac {3}{2}}\pi )]={\frac {3}{2}}}
A
2
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
cos
(
0
)
+
3
⋅
cos
(
π
)
−
2
⋅
cos
(
2
π
)
−
1
⋅
cos
(
3
π
)
]
=
−
3
2
{\displaystyle A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}}
B
0
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
k
)
=
0
{\displaystyle B_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0}
B
1
=
2
4
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
0
+
3
⋅
1
−
2
⋅
0
−
1
⋅
(
−
1
)
]
=
2
{\displaystyle B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2}
B
2
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
k
)
=
0
{\displaystyle B_{2}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0}
Resultado:
Θ
(
x
)
=
1
4
+
A
1
⋅
cos
(
x
)
+
B
1
⋅
sin
(
x
)
+
A
2
2
⋅
cos
(
2
x
)
=
1
4
+
3
2
cos
(
x
)
+
2
sin
(
x
)
−
3
4
cos
(
2
x
)
{\displaystyle \Theta (x)={\frac {1}{4}}+A_{1}\cdot \cos(x)+B_{1}\cdot \sin(x)+{\frac {A_{2}}{2}}\cdot \cos(2x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}\cos(x)+2\sin(x)-{\frac {3}{4}}\cos(2x)}
↑ Stoer, J.; Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis . [S.l.]: Springer ↑ Kaminski, D. (2008). Fourier Analysis . [S.l.]: Cengage Learning ↑ Gautschi, W. (2012). Numerical Analysis . [S.l.]: Birkhauser 
![{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9218706b2c1937a2e7e29f7b3a1cf0527069fb3b)
![{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a90ebb199148553861350d2f93ec15ea3a4a27)
![{\displaystyle A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9241f26f211800ed7260f61bcb35224ef1a3521)
![{\displaystyle B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f84675fcdb565c090089e0df6cea5851b05adf)
![{\displaystyle [0;2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ae5342c7722544867614790a4e3e156783beb8)
![{\displaystyle A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos({\frac {\pi }{2}})-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos({\frac {3}{2}}\pi )]={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8361f98eec07a81cd5010758476c4fa71aeed20)
![{\displaystyle A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fecc45d986154a387bc5108b5e8e1c4d593131)
![{\displaystyle B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa9cd80b73ee7c66b2483aaf2c1dddbcdc5a20a)
