Lagrangiana (teoria de campos)

Teoria do campo Lagrangiana (de Lagrange) é um formalismo na teoria clássica de campos. É o campo análogo teórico da mecânica Lagrangiana. Mecânica lagrangiana é utilizado para partículas discretas, cada uma com um número finito de graus de liberdade. Teoria de campo Lagrangiana aplica-se ao contínuo e campos, que têm um número infinito de graus de liberdade.

Este artigo usa $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ para a densidade Lagrangiana, e L para a Lagrangiana.

O formalismo da mecânica Lagrangiana foi generalizado ainda mais para lidar com teoria de campos. Na teoria de campos, a variável independente é substituída por um evento num espaço-tempo ( x , y , z , t ), ou, mais geralmente ainda, por um ponto s em uma variedade. As variáveis dependentes (q) são substituídas pelo valor de um campo em que um ponto no espaço-tempo φ (x, y, z, t) de modo que as equações de movimento são obtidas por meio de um princípio de ação, escrito como:

$${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,$$

onde a ação, $\scriptstyle {\mathcal {S}},$ é um funcional das variáveis dependentes φ_i(s) com suas derivadas e com s em si mesmo

$${\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}},s^{\alpha }\right)\,\mathrm {d} ^{n}s}$$

e onde s = { s^α} denota o conjunto de n variáveis independentes do sistemas, indexadas por α = 1, 2, 3,..., n.

Note-se que L é usado no caso de uma variável independente (t) e $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ é utilizado no caso de múltiplas variáveis independentes (geralmente quatro: x, y, z, t).