A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz.[1]
A lagrangiana completa para duas partículas em interação é
Aqui q1 e q2 são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente, m1 e m2 são as massas das partículas, v1 e v2 são as velocidades das partículas, c é a velocidade da luz, r é o vetor entre as duas partículas, e é o vetor unitário na direção de r.
A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em v/c forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.[2]:
o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a k.
Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é
onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em v/c.
A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é
onde
O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então
onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em v/c.
Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir no último termo e inverter seu sinal.[3]
resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto
descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização e acopla-se a uma partícula com carga e trimomento com uma força Dado que neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.
Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência comparada com no propagador trabalhando com a precisão em que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva
por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.
Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin s = 1/2 e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.[4]