Série de Taylor

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

,

onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por:[1][2][3][4][5][6][7][8]

No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

ConvergênciaEditar

Toda série de Taylor possui um raio de convergência   com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência)  .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

 

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

 

cuja série de Taylor é :

 

Série de Taylor associada a uma funçãoEditar

 
Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.[9]

A série de Taylor associada a uma função   infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]ar, a + r[ é a série de potências dada por

 

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de (Série de Maclaurin)Editar

Função exponencial e logaritmo natural:

 [10]
 

Série geométrica:

 

Teorema binomial:

 

Funções trigonométricas:

 
 
 
onde Bs são números de Bernoulli.
 
 
 

Funções hiperbólicas:

 
 
 
 
 

Função W de Lambert:

 

Série de Taylor em várias variáveisEditar

A série de Taylor pode também ser definida para funções de  .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de   em torno do ponto   é dada por:

 

onde   denota  

Ou seja, tem-se:

 

No caso particular  ,  

 [11]

Séries de MaclaurinEditar

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde  :

 

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

 

Logo:

 

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

 

Série de Maclaurin para o  Editar

Para o  , tem-se que:

 

DerivadasEditar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:

 

Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com   elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

 

Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:

 

Dessa forma, a série pode ser escrita como:

 

Série de Maclaurin para o  Editar

Para o  , tem-se que:

 

DerivadasEditar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com   elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

 

Substituindo-se os valores das derivadas e da   na série obtem-se:

 

Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:

 

Ou ainda:

 

Referências

  1. Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company
  2. Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor
  3. Série de Taylor
  4. Notas de Aula MatLab Série, limite, equação diferencial
  5. Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 (em inglês)
  6. Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 (em inglês)
  7. Amos Gilat, Vish Subramaniam, Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB, Bookman, 2008 ISBN 8-577-80297-3
  8. Steven C. Chapra e Raymond P. Canale, Métodos Numéricos para Engenharia, McGraw Hill Brasil, 2011 ISBN 8-580-55011-4
  9. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  10. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  11. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 

Ver tambémEditar

BibliografiaEditar

  1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC 13481133 (em alemão)
  2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
  3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

Ligações externasEditar

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