Lei de Wien

Espectro da radiação de corpo negro para diversas temperaturas. A lei de Wien descreve o comportamento do comprimento de onda para o qual a intensidade da radiação é máxima em função da temperatura.

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que relaciona o comprimento de onda onde se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro e sua temperatura:

$\lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}$

onde

$\lambda _{\text{max}}\,$ é o comprimento de onda (em metros) onde a intensidade da radiação eletromagnética é a máxima;

$T\,$ é a temperatura do corpo em kelvin (K), e

$b\,$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em m.K (metro x Kelvin).

O valor dessa constante é $b=2.8977685\times 10^{-3}$ m.K

O que resulta em:

$\lambda _{\text{max}}={\frac {0.0028976}{T}}$

Conforme a lei de Wien, quanto maior for a temperatura de um corpo negro, menor será o comprimento de onda para o qual a emissão é máxima. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5780 K e o pico de emissão se produz a 475 nm =$(4,75\cdot 10^{-7}m)$. Como 1 angstrom 1 Å= 10⁻¹⁰ m=10⁻⁴ micras resulta que o máximo ocorre a 4750 Å.

Dedução

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

$E(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}={C_{1}\cdot \lambda ^{-5} \over (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades ou sistema MKS:

$C_{1}=8\pi hc=4,99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]$

$C_{2}={hc \over k}=1,4385\cdot 10^{-2}{m\cdot K}=1,4385\cdot 10^{4}[\mu m\cdot K]$

Para encontrar o máximo, a derivada da função com respeito a $\lambda$ tem de ser zero.

${\partial (E(\lambda ,T)) \over \partial \lambda }=0$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

${\frac {c_{2}}{\lambda \cdot T}}=5\cdot (1-e^{-C_{2} \over \lambda \cdot T})$

Se definimos

$x\equiv {c_{2} \over \lambda T}$

então

${x \over 1-e^{-x}}-5=0$

Esta equação não pode ser resolvida analiticamente. Utilizando o método de Newton ou da tangente:

$x=4.965114231744276\ldots$

Da definição de x resulta que:

$\lambda _{\text{max}}\cdot T={\frac {c_{2}}{x}}={\frac {1.4385\cdot 10^{4}}{4.965114231744276}}=2897,6\mu mK$

Assim que a constante de Wien é $2897,6\mu m\cdot K$ pelo que:

$\lambda _{\text{max}}\cdot T=2897,6\mu m\cdot K$

Ligações externas

• Fórmula empírica de Wien