Tabela de derivadas

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que $f$ e $g$ são funções deriváveis em $\mathbb {R}$ e $c$ é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar. Demonstrações destas fórmulas podem ser obtidas em livros de cálculo diferencial e integral.

Regras gerais de derivação

Regra da soma

• $\left({f+g}\right)'=f'+g'$

Regra da subtração

• $(f-g)'=f'-g'$

Regra da multiplicação

• $(cf)'=cf'$

Regra do produto

• $\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Regra do quociente

• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ sendo esta válida para todo $x$ no domínio das funções com $g(x)\neq 0$.

Regra da Cadeia

• $(f\circ g)'(x)=f'{\big (}g(x){\big )}g'(x)$

onde $(f\circ g)(x):=f{\big (}g(x){\big )}$ é a composição de $f$ com $g$ (usualmente, lê-se "$f$ após $g$"). Esta é válida para $x$ no domínio $D_{g}$ da função $g$ e tal que $g(x)$ esteja no domínio $D_{f}$ da função $f$, ou seja, é válida em $D_{f\circ g}=\{x\in D_{g}:g(x)\in D_{f}\}$.

Derivadas de funções simples

• ${d \over dx}c=0$

• ${d \over dx}x=1$

• ${d \over dx}c.x=c$

• ${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

• ${\frac {d}{dx}}c^{x}=c^{x}\ln c,\quad c>0$

• ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$
• ${\frac {d}{dx}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}$
• ${\frac {d}{dx}}\ln |x|={\frac {1}{x}}$

Se $u$ é uma função derivável, então:

• ${\frac {d}{dx}}e^{u}=u'e^{u}$

• ${\frac {d}{dx}}a^{u}=u'a^{u}\ln a$

• ${\frac {d}{dx}}\log _{a}u={\frac {u'}{u}}\log _{a}e$

• ${\frac {d}{dx}}\ln |u|={\frac {u'}{u}}$

Derivadas de funções trigonométricas

Função	Abreviatura	Identidade trigonométrica
Seno	sen (ou sin)	$\operatorname {sen} \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}$
Cosseno	cos	$\cos \theta \equiv \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}$
Tangente	tan (ou tg)	$\tan \theta \equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}$
Cossecante	csc (ou cosec)	$\csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}$
Cotangente	cot (ou cotg ou cotan)	$\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}$

• ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=\cos x$

• ${\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x$

• ${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$

• ${d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x$

• ${d \over dx}\sec x=\sec x\tan x$

• ${d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x$

Derivadas de funções trigonométricas inversas

• ${d \over dx}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

• ${d \over dx}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

• ${d \over dx}\arctan \,x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

• ${d \over dx}\operatorname {senh} x=\cosh x$

• ${d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} x$

• ${d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x$

• ${d \over dx}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} x\tanh x$

• ${d \over dx}\operatorname {coth} x=-\operatorname {csch} ^{2}x$

• ${d \over dx}\,\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} x\operatorname {coth} x$

• ${d \over dx}\operatorname {argsenh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {argcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {argtanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {argsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {argcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

• ${d \over dx}\operatorname {argcsch} x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Ver também

• Tabela de integrais