Lista de propriedades da transformada de Laplace

A Transformada de Laplace apresenta uma variedade de propriedades operacionais.[1] A lista a seguir mostra alguma delas:

Linearidade[2]Editar

A transformada de Laplace é uma transformação linear, ou seja,

 

Sempre que cada uma das transformadas existirem. A transformada se comporta dessa forma devido a propriedade de linearidade da integral.

Demonstração:

 

 

 

 

Observação: A transformada inversa de Laplace também é uma transformação linear, ou seja,

 

 

 

Transformada de Laplace de uma derivada[3]Editar

Se   é contínua e de ordem exponencial e   é contínua por partes para  , então

 

Se   e   são contínuas e  é contínua por partes. Então podemos aplicar a expressão acima duas vezes e obter:

 

Analogamente, se  ,   , ... ,  são contínuas e   é contínua por partes, então:

 

Demonstração:

Seja

 
e, utilizando o método da Integração por partes, onde   e   temos
 
 
considerando   e utilizando a definição de Transformada de Laplace chegamos em:
 
[4]

Transformada de Laplace de uma integralEditar

Se   é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes  , então   é a transformada inversa de  .

 


Demonstração: Seja  . Então,  . Aplicamos a propriedade da transformada da derivada e temos:

 


Usando o fato que  , temos

 

 

 

 

Deslocamento no tempoEditar

Estas funções podem representar sinais "liga/desliga" - como a função pulso, onde uma determinada função pode surgir num determinado tempo e, logo após, voltar a ser nula e/ou ser alterada.

 
Função pulso com a<b

A função pulso é definida por:  

 
Função degrau unitário

A função degrau unitário, ou função de Heaviside. é definida assim

  Consequentemente, o produto:

 

é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Sendo assim tem-se o seguinte;

Definição:    

e a inversa:  

Demonstração: Aplica-se diretamente a transformada de Laplace de   e usa-se a propriedade aditiva de integrais

 

usando o fato de que  , tem-se:

 . Agora faz-se a mudança de variável   na integral e altera-se os limites de integração novamente:

 , que é a definição de transformada de Laplace.

e concluímos que:  

Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por   . Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades.

Deslocamento na frequênciaEditar

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função   desde que conheçamos a sua transformada, isto é:

   ,

ou

 

Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de  :

  

Exemplo 1: Calculemos a transformada de Laplace de  :

Usando a definição de transformada calcula-se

 

Aplicando a propriedade da translação tem-se

   

Exemplo 2: Analogamente é possível calcular a transformada de Laplace de  :

Primeiro escreve-se Seno hiperbólico na sua forma exponencial

 

Assim, pela propriedade da Linearidade, pode-se colocar   em evidência,tem-se

 

Então aplica-se a propriedade da translação do eixo s

 

Teorema de ConvoluçãoEditar

A convolução é uma operação que permite relacionar algumas funções com a transformada inversa do produto das suas transformações.

 


Demostração: Partimos da definição das transformadas:

  e  

Logo,

 

 

Mantemos   fixo e fazemos a mudança de variável   para obter:

 

Mudamos a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez de variar   em   depois   em   primeiro vamos variar   em  , depois   em  , ou seja

 

 

 

 

Transformada de Laplace de uma função de período TEditar

Se f(t) é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período T. Então a transformada de Laplace existe e é da forma

 

Demonstração: Aplicando a definição e separando a integral nos períodos da função f(t) para obter:

 

 

 

Fazendo a mudança de variável   e obtêm-se

 

 

Usando o fato que a função é periódica, ou seja,  , se tem:

 

 

 

 

onde usa-se a soma de uma série geométrica de razão  .

As funções periódicas aparecem com frequência representando forças externas em sistemas mecânicos e elétricos.

Derivada da transformada de LaplaceEditar

 

Dada uma função  , podemos escrever que  , e temos então:

 

E pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

 

 

 

  [5]

Integral da transformada de Laplace[6]Editar

Se   é a transformação de Laplace de   e   existe então :

 

Demonstração:


 

 

 

 

EscalamentoEditar

 

Valor inicial[6]Editar

Se F(s) é a transformada de Laplace de uma função f(t) de ordem exponencial c e

 ,

então

 .

Demonstração : Usando a definição da Transformada podemos escrever


 

 


Dessa forma podemos observar que a segunda integral tende a zero quando  independente do valor de a e b, pois o fato da função ser de ordem exponencial e contínua por partes implica f(t) limitada em [a,b], ou seja,   e, portanto,

 

 

 

 

A última integral também tende a zero se b for suficientemente grande, pois existem c e M > 0 tal que   para t>b e, portanto,

 

 

 

 

E por fim, para a suficientemente pequeno, f(t) se aproxima de L, pois  , ou seja,

 

 

 

Como   quando  , então

 

Valor finalEditar

Se  é a transformada de Laplace de   e

 

então,

 

Demonstração[5]Editar

Usamos a Definição de transformada de Laplace para escrever

 

 

Observe que a primeira parcela do lado direito tende a zero independentemente do valor de  .Porém, para  suficientemente grande,  se aproxima de  , pois  , ou seja,

 

e,

 

Como   quando  , então

 

Referências