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Integração por partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:[1][2]

onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

ExemplosEditar

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

  •   + C

onde escolheu-se   e  .

  •  

escolhendo   e  .

DemonstraçãoEditar

Pela regra do produto, temos que:

 

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

 

Abrindo o u'(x) e v'(x):

 

Simplificando as integrais, ficamos com:

 

Conclui-se que:

 

Ver tambémEditar

Referências

  1. Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256 
  2. Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586 

BibliografiaEditar

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.