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Média e covariância amostrais

A média amostral ou média empírica e a covariância amostral são cálculos de estatística feitos a partir de uma coleta de dados em uma ou mais variáveis aleatórias. A média amostral é um vetor onde cada um dos elementos é a média da amostra de uma das variáveis aleatórias, ou seja, cada um dos elementos é a média aritmética dos valores observados de uma das variáveis. A matriz da covariância de amostra é quadrada, cujo i, j elemento é a covariância da amostra (uma estimativa da covariância da população ) entre os conjuntos de valores observados de duas das variáveis e cujo i, i elemento é a variância da amostra de valores observados de uma das variáveis . Se apenas uma variável teve valores observados , em seguida, a média da amostra é um único número (a média aritmética dos valores observados para a variável) e a matriz da covariância de amostra é simplesmente um único valor (a variância da amostra de valores observados de que variável).

Índice

Média amostralEditar

Seja   a i-ésima observação desenhada independentemente (i=1,...,N) no jth. Estas observações podem ser organizadas em N vetores coluna, cada um com entradas K e com K × 1 vetor coluna dando a ith observações de todas as variáveis sendo denotado   (i=1,...,N).

A média do vetor da amostra   é um vetor coluna cujo j th elemento   é o valor médio das observações N da j th da variável:

 

Assim, a média amostral do vetor contém a média das observações para cada variável, e é escrita:

 

Covariância amostralEditar

A matriz da covariância amostral é definida por K-x - K matriz   com entradas:

 

Onde,   é a estimativa da covariância entre a variável jth e o kth variável da população subjacente aos dados.

Em termos dos vetores de observação, a covariância da amostra é:

 

Por outro lado, organizando os vetores de observação como as colunas de uma matriz, de modo que

 ,

que é uma matriz de linhas K e colunas N. Assim, a matriz de covariância de amostra pode ser calculada com:

 ,

onde,   é o “N” por 1 do vetor.

Se as observações são dispostas como as linhas, em vez de colunas, de modo que   é agora um 1 × K vetor linha e   > é uma matriz × K N' j cuja coluna é o vetor de observações n na variável “j”, em seguida, transpomos os lugares rendimentos apropriados:

 

DiscussãoEditar

A média amostral e a matriz de covariância amostral são estimativas imparciais da média e a matriz de covariância do vetor aleatório   , um vetor linha cujos j th elemento (j = 1, ..., K) é uma das variáveis aleatórias.[1] A matriz da covariância da amostra tem   no denominador, em vez de   devido a uma variação na função de Bessel: Em suma, a covariância da amostra baseia-se na diferença entre cada observação e a média amostral, mas a média amostral é correlacionada com cada observação. Se a média da população (   )é conhecida, a estimativa imparcial análoga

  usando a média da população , temos   no denominador.

Este é um exemplo do por que em probabilidade e estatística é essencial distinguir variável aleatória (letras maiúsculas) e o valor observado das variáveis aleatórias (letras minúsculas).

O valor máximo estimado

 

para a distribuição Gaussiana caso tem N no denominador também. A proporção de 1 / N a 1 / ( N- 1 ) se aproxima de 1 para grande N , de modo que a estimativa máxima da probabilidade é aproximadamente igual à estimativa imparcial quando o amostra é grande.

Variância da média amostralEditar

Para cada variável aleatória, a média amostral é um bom estimador da média da população , onde um "bom" estimador é definido como sendo eficiente e imparcial. Claro que o estimador provavelmente não será o verdadeiro valor da população significa que diferentes amostras retiradas da mesma distribuição dará diferentes médias amostrais e, portanto, diferentes estimativas da média verdadeira. Assim, a média amostral é uma variável aleatória, não uma constante e, consequentemente, tem a sua própria distribuição. Para uma amostra aleatória de observações n no “j th variável aleatória , a própria distribuição da média amostral tem média igual à média da população   e variância igual a  , onde   é a variância da variável aleatória “X” j.

Amostras ponderadasEditar

Numa amostra ponderada, para cada vetor   (cada conjunto de observações individuais em cada um dos K variáveis aleatórias) é atribuído um peso  . Sem perda de generalidade, suponha que os pesos são constantes normais:

 

(Se eles não estiverem, dividir os pesos por sua soma). Em seguida, o vetor ponderado   é dado pela

 

E os elementos   da matriz de covariância ponderada   são [2]

 

Se todos os pesos são os mesmos ,  , a média ponderada e covariância reduzir para a média amostral e covariância acima.

CríticaEditar

A média amostral e covariância de amostra são amplamente utilizados em estatísticas e aplicações, e são medidas extremamente comuns de localização e dispersão, respectivamente, provavelmente o mais comum: eles são facilmente calculado e possuir características desejáveis.

No entanto, eles sofrem de certos inconvenientes; nomeadamente, eles não são estatísticas robustas, o que significa que eles são sensivelmente discrepantes. Como robustez é muitas vezes uma característica desejada, particularmente em aplicações do mundo real, alternativas robustas pode revelar-se desejável , nomeadamente estatísticas quantis baseadas na mediana da amostra para localização, ,[3] e intervalo interquartil (IQR) para dispersão. Outras alternativas incluem corte e Winsorising.

Referências

  1. Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern (2007). Applied Multivariate Statistical Analysis. [S.l.]: Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-187715-3. Consultado em 10 de agosto de 2012 
  2. Mark Galassi, Jim Davies, James Theiler, Brian Gough, Gerard Jungman, Michael Booth, and Fabrice Rossi. GNU Scientific Library - Reference manual, Version 1.15, 2011. Sec. 21.7 Weighted Samples
  3. The World Question Center 2006: The Sample Mean, Bart Kosko