Máximo divisor comum

(Redirecionado de MDC)

O máximo divisor comum (abreviadamente, MDC) entre dois ou mais números reais é o maior número real que é fator de tais números.[nota 1] Por exemplo, os divisores comuns de e são e , logo . A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo . Com esta notação, dizemos que dois números inteiros e são primos entre si , se e somente se . Em alguns casos nós denotamos o mdc entre dois números simplesmente por .

Máximo Divisor Comum

No contexto da teoria dos anéis, um máximo divisor comum é definido de forma análoga: ele é um elemento que divide e , e tal que qualquer outro divisor comum de e é um divisor de . Nem sempre existe um máximo divisor comum, e nem sempre ele é único.

Propriedades

editar
  1. Se   e é um divisor de  , então  .[nota 2]
  2. Todo número que for divisor comum de   e   também é um divisor de  ;
  3. Considerando que todos os números são fatores de   (pois   para qualquer   inteiro) então  ;
  4. Se   é um inteiro não negativo então  ;
  5. Se   então  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8. Se   é um inteiro positivo então  ;
  9. Calcular o máximo divisor comum é uma operação associativa:  ;
  10. Tem-se .  , onde   representa o mínimo múltiplo comum;
  11. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades distributivas:
     
     ;
     ;
  12. Se   é um número primo   ou  ;
  13. (Identidade de Bézout) Se  , então existem inteiros   e   tais que  ;
  14. Se  , então  ;
  15. Se   e   e   são divisíveis por   então:  ;
  16. Se   e   são inteiros e   onde   e   são inteiros, então:  .

Determinação do máximo divisor comum

editar

Há duas formas de determinar o máximo divisor comum de dois números:

  1. A primeira é fatorar os números e a partir daí, pegar os fatores comuns a todos números e deixá-los com o menor expoente que o fator analisado apresentar entre todos os números.[nota 3]
  2. Exemplo:
    Achemos o   de   e  . Note que:   e  , então   (fatores comuns aos números e o menor expoente do fator. No caso do   tínhamos expoentes   e  , mas pegamos o menor, daí ficou só   e não   ao quadrado).
  3. A segunda consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.[nota 4]

Algoritmo de Euclides

editar
 Ver artigo principal: Algoritmo de Euclides

O algoritmo de Euclides consiste em efectuar divisões sucessivas entre dois números até obter resto zero. O máximo divisor comum entre os dois números iniciais é o último resto diferente de zero obtido. Este método não requer qualquer factorização.[nota 5]

Ver também

editar

Notas

  1. Vianna (1914), p. 71.
  2. Vianna (1914), p. 72.
  3. Vianna (1914), p. 77.
  4. Vianna (1914), p. 73.
  5. Vianna (1914), p. 72-74.

Referências

Bibliografia

editar
  1. Jaime Evaristo, Introdução à Álgebra com aplicações à Ciência da Computação, UFAL, ISBN 8-571-77058-1.
  2. Jaime Evaristo, Introdução à álgebra abstrata, UFAL, 1999 ISBN 8-571-77125-1.
  3. Mary Jane Sterling, Álgebra I Para Leigos, Alta Books Editora, 2013 ISBN 8-576-08256-X
  4. Taiane Vieira, Roberto Giugliani, Matemática Discreta - 3ed: Coleção Schaum, Bookman Editora, 2013 ISBN 8-565-83778-5
  5. Slavin, Keith R. (2008). "Q-Binomials and the Greatest Common Divisor" Ver Artigo. Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory (University of West Georgia, Charles University in Prague) 8: A5.
  6. Schramm, Wolfgang (2008). "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor" Ver Artigo. Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory (University of West Georgia, Charles University in Prague) 8: A50.
  7. Knuth, Donald E.; Graham, R. L.; Patashnik, O. (March 1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. (em inglês)
  8. Nymann, J. E. (1972). "On the probability that k positive integers are relatively prime". Journal of Number Theory 4 (5): 469–473. doi:10.1016/0022-314X(72)90038-8. (em inglês)
  9. Chidambaraswamy, J.; Sitarmachandrarao, R. (1987). "On the probability that the values of m polynomials have a given g.c.d.". Journal of Number Theory 26 (3): 237–245. doi:10.1016/0022-314X(87)90081-3 (em inglês).
  10. Chor, B.; Goldreich, O. (1990). "An improved parallel algorithm for integer GCD". Algorithmica 5 (1–4): 1–10. doi:10.1007/BF01840374.
  11. Andreescu, T; Feng, Z., 104 Number Theory Problems from Training of the USA IMO Team, Australian Mathematics Trust

Ligações externas

editar
 
Wikilivros
O wikilivro Teoria de números tem uma página intitulada Máximo divisor comum
 
Wikisource
A Wikisource contém fontes primárias relacionadas com Elementos de Arithmetica
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.