Abrir menu principal
Ambox important.svg
Foram assinalados vários aspectos a serem melhorados nesta página ou se(c)ção:

Número primo é qualquer número cujo conjunto dos divisores não inversíveis não é vazio, e todos os seus elementos são produtos de por números inteiros inversíveis. De acordo com esta definição, e não são números primos. Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores distintos, e Já um número natural primo tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo.[1]

Uma das questões pesquisadas sobre os números primos é de como eles se distribuem nos naturais, com que frequência isso ocorre e qual a distância que existe entre eles. Por exemplo, existem vários pares de números primos que se diferem em duas unidades: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Pares de números primos com essa propriedade são denominados de primos gêmeos. Não se sabe ainda se existem infinitos pares de números primos gêmeos.[2]

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto ( e também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..[3]O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).

Existem 168 números primos positivos menores do que 1000[4]. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 (sequência A000040 na OEIS).

Exemplos de decomposições:

Para todo primo p seja p# o produto de todos os números primos q inferiores ou iguais a p. De acordo com a terminologia empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p. Temos dois problemas em aberto sobre a noção de primorial:[5]

a) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja primo? b) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja composto?

O que se sabe:

  • O maior número primo conhecido da forma p# + 1 é 392113# + 1, com 169966 algarismos, foi descoberto por D. Heuer et al. Em 2001.
  • A lista completa dos números primos p < 632700 tais que p# + 1 seja primo é a seguinte: P = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439 e 392113.
  • Caldwell e Gallot publicaram em 2002 a lista para p < 120000. O primo 145823# + 1 foi descoberto em 2000 por A.E. Anderson, D.E. Robinson et al. O primo 366439# + 1 foi descoberto em 2001 por D. Heuer et al.
  • 15877# – 1 é o maior primo encontrado da forma p# – 1; tem 6845 algarismos e estava incluído na lista de Caldwell e Gallot de 2002.
  • A lista dos números primos p < 650000 tais que p# – 1 é primo é a seguinte: 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 e 15877.
  • A lista para p < 120000 foi publicada em 2002 por Caldwell e Gallot, posteriormente nenhum outro primo p# – 1 foi descoberto.

Os átomos da aritméticaEditar

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o   pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de   a   Em seguida escolhia o primeiro primo,   e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:

Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema : Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que   ≤ n , então ele é primo. (demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere  

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número   era primo: calcule   elevado a potência   e divida-o por   se o resto for   então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular   em um relógio com   horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até   mas falha para   Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como  

Teoremas sobre números primosEditar

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas. Todos os teoremas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Teorema 1: (Teorema Fundamental da Aritmética)[6]Todo número natural maior do que   ou é primo ou se escreve de modo único (exceptuando a ordem dos fatores) como um produto de números primos.

Demonstração:

Tomemos a segunda forma do Princípio de Indução. Seja   sabemos que ele é primo. Suponha o resultado válido para todo número natural menor que   e vamos provar que vale para   Observe que que se   é primo, nada temos a provar. Sendo   composto, existem números naturais   e   tais que   com   e   Por hipótese de indução, existem primos   e   tais que   e   logo  

Provaremos agora a unicidade da escrita. Suponha que   onde os   e   são números primos. Como   temos que   para algum   (provaremos mais adiante), que por conveniência, podemos supor que seja   logo teremos então que   (já que temos  ). De forma análoga, podemos afirmar que como   temos que   para algum   que por conveniência, podemos supor que seja   assim teremos   Como   a hipótese de indução acarreta em que   e os elementos   e   são iguais.

Teorema 2:[7]

Dado um número natural   existem primos   e naturais   univocamente determinados, tais que  

Demonstração:

Decorre do Teorema Fundamental da Aritmética, agrupando-se os primos repetidos e ordenando os primos em ordem crescente.

Teorema 3:[8]

Sejam       … .         … .     e   com   tem-se que       … .   e       … .  


Demonstração:

Temos que       … .   é um divisor comum de   e   Seja   um divisor comum de   e   logo       … .   onde    e, portanto       … .  Do mesmo modo, prova-se o m.m.c.( Mínimo Múltiplo Comum).

Teorema 4:[9]

Existem infinitos números primos.

Demonstração:

Suponha que exista apenas um número finito de números primos   Considere o número natural   O número   possui um fator primo   que, portanto, deve ser um dos   Mas isso implica que   divide   o que é absurdo.

Teorema 5: (Pequeno Teorema de Fermat)[10]

Dado um número primo   tem-se que   divide o número   para todo  .

Demonstração:

Vamos provar pelo Princípio da Indução Infinita. O resultado vale para   já que   Supondo valido para um natural   iremos provar que é válido para o natural  

   =   +    + ... +   O segundo membro da igualdade é divisível por   (Lema 2), o resultado se segue.

Teorema 6: (Euclides-Euler)[11]

Um número natural   é um número perfeito par se, e somente se,  =  (  ), onde    é um primo de Mersenne.

Demonstração:

Suponha que  =  (  ), onde   é um primo de Mersenne. Logo   e consequentemente,   é par. Como   é ímpar, temos que   Pela Proposição 5, Corolário 2 e Lema 3, temos:   Portanto, n é perfeito. (Denota-se por   a soma de todos os divisores de  ).

Reciprocamente, suponha que   é perfeito e par. Seja   a maior potência de   que divide   Logo,   e   com   ímpar. Temos então que   e, pela Proposição 5 e Corolário 2, segue-se que   Como   segue-se que  

Temos então, que   pois   Logo, existe   com   tal que   Substituindo, segue-se:   portanto,   Como   e   são dois divisores distintos de   tais que   Nesta situação,   De fato, suponha por absurdo que   Temos então que   segue-se que   contradição. Logo, concluímos que   assim   é primo. Temos então que   com   primo.


Teorema 7: (Legendre)[12]

Sejam n um número natural e p um número primo, Então   +   +   + ⋯ . (Denotaremos   pelo expoente de maior potência de   que divide   e por   o quociente da divisão de a por b, na divisão euclidiana)

Demonstração:

A soma apresentada no teorema é finita, pois existe um números natural   tal que   para todo   portanto   se   Vamos demonstrar o resultado por indução sobre   A fórmula vale para   Suponha que vale para um natural   com   Sabemos que os múltiplos de   entre   e   são   2p, ...,  p. Portanto,   +   Pela hipótese de indução temos que   =   +   +   + ... . O resultado decorre da Proposição 6.

Teorema 8:[13]

Sejam  * com   primo. Suponha que   seja a representação p-ádica de   Então   =  

Demonstração:

Sendo   temos que     ...,   Portanto,   =   +   +   + ⋯   =   =   =  


Teorema 9: Teorema de Vantieghems[14][15]

Um número natural n é primo se, e somente se:

 

 

Exemplos:

1) Para n=7 temos o produto 1*3*7*15*31*63 = 615195. : 615195 = 7 mod 127. 7 é primo.

2) Para n=9 temos o produto 1*3*7*15*31*63*127*255 = 19923090075. 19923090075 = 301 mod 511. 9 é composto.

Lemas sobre números primosEditar

Todos os lemas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Lema 1:[16]

Se um número natural   não é divisível por nenhum primo   tal que   então ele é primo.

Demonstração:

Suponha, por absurdo, que   não seja divisível por nenhum número   tal que   e que não seja primo. Seja   o menor número primo que divide   logo,   com   Desse modo temos   o que mostra que   é divisível pelo número primo   tal que   absurdo.

Lema 2: [17]

Seja   um número primo. Os números   onde   são todos divisíveis por  

Demonstração:

O resultado é válido para   Suponha então,   Neste caso,   Como o   concluímos que ,   e o resultado se segue, pois  

Lema 3:[18]

Seja  *, Tem-se que   se, e somente se,   é um número primo.

Demonstração:

Se   segue-se que   e que os únicos divisores de   são   e   logo   é primo. Reciprocamente, se   é primo, pela Proposição 5, segue-se que  

Corolários sobre números primosEditar

Todos os corolários desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Corolário 1:[19]


Se   é um número primo e se   é um número natural não divisível por   então   divide  

Demonstração:

Sabendo que   (Pequeno Teorema de Fermat), então   e como   podemos concluir que  

Corolário 2:[20]


A função   é multiplicativa, isto é, se   então  

Demonstração:

Segue-se diretamente da demonstração da Proposição 5.

Proposições sobre números primosEditar

Todos as proposições desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Proposição 1:[21]

Sejam  *, com   primo. Se   então   ou  

Demonstração:

Se   e   então   Mas se   temos que  

Proposição 2:[22]

Seja   um número natural escrito decomposto em números primos. Se   então   onde   para   natural.

Demonstração:

Seja   um divisor de   e seja   a potência de um primo   presente na decomposição de   em um produto de seus fatores primos. Sabendo que   segue que   divide algum   por ser primo com os demais   e, consequentemente,   e  

Proposição 3:[23]

Sejam   e   números naturais maiores do que   Se   é primo, então   é par e   com  

Demonstração:

Suponha que   seja primo, onde   e   Logo   tem que ser par, pois caso contrário,   seria par e maior do que dois, o que contraria o fato de ser primo. Se   tivesse um divisor primo   diferente de   teríamos   com  *. Logo,   concretizando o fato desse último número ser primo. Isto implica que   é da forma  

Proposição 4:[24]

Sejam   e   números naturais maiores que   Se   é primo, então   e   é primo.

Demonstração:

Suponha que   seja primo, com   e   Suponha por absurdo, que   Logo   e   e, portanto,   não é primo, contradição. Consequentemente,   Por outro lado, suponha, que   não é primo. Temos   com   e   Como   divide   segue que   não é primo, contradição, logo   é primo.

Proposição 5:[25]

Seja   onde   são números primos e  *. Então,  

Demonstração:

Considere a igualdade   ..   =   onde o somatório do primeiro membro da igualdade é tomado por todas as k-uplas ( ) ao variar cada   no intervalo   para   Como tal somatório, pela Proposição 2, representa soma de todos os divisores de   a fórmula   resulta aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica a cada soma do segundo membro da igualdade.

Proposição 6:[26]

Sejam   e  *, temos que   (Denotaremos por   o quociente da divisão de   por   na divisão euclidiana).

Demonstração:

Sejam   e   Logo,   com   e   com   Portanto,   Como   segue-se que   é o quociente da divisão de   por   ou seja,  


Teoria dos númerosEditar

 Ver artigo principal: Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?

SEGUNDO EUCLIDES[27]

Suponhamos que a sucessão   dos   números primos seja finita. Tomemos   e seja p um número primo que divide   O número   não pode ser igual a nenhum dos números   porque então mele dividiria a diferença   o que é impossível, Assim   é um número primo que não pertence à sucessão e, por consequência,   não pode formar o conjunto de todos os números primos.

SEGUNDO KUMMER (uma variante da demonstração de Euclides)[28]

Suponha que exista um número finito de úmeros primos   seja   O inteiro   sendo o produto de fatores primos, teria então um fator primo   que dividiria também   então,   dividiria   o que é absurdo.

SEGUNDO HERMITE[29]

Para todo número natural   existe um número primo   Para isto basta escolher um número   qualquer dividindo  (teorema fundamental da aritmética). Se tivermos   então   divide   como  divide   logo   dividiria   absurdo.

SEGUNDO GOLDBACH[30]

Suponha uma sucessão infinita   de naturais primos entre si, dois a dois, nenhum deles tem fator primo em comum. Se   é um fator primo de     é um fator primo de   é um fator primo de   então   são todos distintos. Os números de Fermat   (para  ) são, dois a dois, primos entre si. Por recorrência sobre   demonstra-se que   então, se     divide   Se existisse um número primo p que dividisse   e   dividiria   portanto dividiria   então   O que é impossível porque   é ímpar.

Dado um número natural   qual é a proporção de números primos entre os números menores que  

  • A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Supondo que o número de primos seja finito e sejam   os primos. Seja   o número tal que

 
=   onde   denota o produtório.
Se   é um número primo, é necessariamente diferente dos primos   pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se   é composto, existe um número primo   tal que   é divisor de  
Mas obviamente   Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja   primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro   Temos   que, necessariamente, é coprimo de   (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que  ). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado   e resto   e do maior pelo menor tem resultado   e resto   Assim,   tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como   Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a   Ao multiplicar os dois números, temos   Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
  • A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente   onde   é o logaritmo natural.
  • Para qualquer número inteiro   existem   números inteiros consecutivos todos compostos.
  • O produto de qualquer sequência de   números inteiros consecutivos é divisível por  
  • Se   não é primo, então   possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a  
  • Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primosEditar

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma   tal como   etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

 
 
 
 
 
 

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

  •   - que podem sempre ser escritos na forma ( ); e
  •   - nunca podem ser escritos na forma ( ).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

 ,   e   são primos mas   não é, pois  

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número   é seguido de cento e onze[31] números compostos e não existem[32] primos entre os números   e  

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo   fornece primos quando   [33][34] Veja que para x = 41, a fórmula resulta em   que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de   de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em   com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de  

Não se sabe se há uma expressão polinomial   com   que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se     e   não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

 
representa infinitos primos, quando   e   assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula   forneceria números primos para   Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por   Os cinco primeiros números são:

 
sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primoEditar

Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo   é:

 

Uma aproximação melhor é:

 
[35]

O teorema de Rosser mostra que   é maior que   É possível melhorar esta aproximação com os limites [36][37]:

 

Maior número primo conhecidoEditar

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado até então. Tem 17.425.170 dígitos e, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada. É o número  . Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene.[38]

Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com 22.338.618 dígitos, que recebeu o nome "M74207281".[39] É o número   que tem 5 milhões de dígitos a mais que o último conhecido.[40] . O achado foi divulgado pelo programa GIMPS.

Em dezembro de 2017 um engenheiro eletrotécnico da empresa de entregas FedEx descobriu um número primo ainda maior: “M77232917”, como foi batizado, tem mais de 23 milhões de dígitos e apenas pode ser dividido por 1 ou por ele próprio. O homem que o descobriu chama-se Jonathan Pace, tem 51 anos, é norte-americano e também participa do GIMPS.[41] Em dezembro de 2018 uma nova marca de maior número primo foi registrada, alcançando a quantidade de 24 milhões de dígitos.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves. p. 59 
  2. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011 (pag. 90)
  3. Euclides, Os Elementos, Livro IX, Proposição 20 [em linha]
  4. [hhttp://www.primos.mat.br/ «Números Primos»]. www.primos.mat.br. Consultado em 1 de julho de 2018 
  5. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. (pag. 2 e 3)
  6. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 83)
  7. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 84)
  8. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 85)
  9. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 88)
  10. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 92)
  11. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 102)
  12. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 105)
  13. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 107)
  14. Kilford, L.J.P. (2004). «A generalization of a necessary and sufficient condition for primality due to Vantieghem». Int. J. Math. Math. Sci. (69-72): 3889-3892. Zbl 1126.11307. arXiv:math/0402128  . An article with proof and generalizations
  15. Vantieghem, E. (1991). «On a congruence only holding for primes». Indag. Math., New Ser. 2 (2): 253-255. Zbl 0734.11003 
  16. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 89)
  17. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 92)
  18. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 102)
  19. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag 93)
  20. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 101)
  21. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag. 83)
  22. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 84)
  23. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 97)
  24. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 98)
  25. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 101)
  26. HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 104)
  27. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 1)
  28. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 3)
  29. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 4)
  30. RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 4)
  31. Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
  32. Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
  33. Hua (2009), p. 176-177"
  34. Ver lista dos valores, calculada pelo Wolfram Alpha
  35. Ernest Cesàro (1894). «Sur une formule empirique de M. Pervouchine». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 119: 848–849  (em francês)
  36. Eric Bach, Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory. 1. [S.l.]: MIT Press. p. 233. ISBN 0-262-02405-5 
  37. Pierre Dusart (1999). «The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k>=2» (PDF). Mathematics of Computation. 68: 411–415 
  38. «World's largest prime number discovered -- all 17 million digits» 
  39. «Missouri Mathematicians Discover New Prime Number» 
  40. BBC. «Largest known prime number discovered in Missouri» 
  41. «Descoberto o maior número primo conhecido. Tem mais de 23 milhões de dígitos» 

BibliografiaEditar

  • Hua, L. K. (2009). Additive Theory of Prime Numbers. Col: Translations of Mathematical Monographs. 13. [S.l.]: AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-4942-2 
  • Marcus du Sautoy, Os mistérios dos números: Uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver), Jorge Zahar Editor Ltda, 2013 ISBN 8-537-81099-1
  • Luogeng Hua, Additive theory of prime numbers, American Mathematical Soc. ISBN 0-821-89750-0 (em inglês)
  • Mary Jane Sterling, Álgebra I Para Leigos , Alta Books Editora, 2013 ISBN 8-576-08256-X
  • Edward S. Wall, Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental, McGraw Hill Brasil, 2014 ISBN 8-580-55353-9
  • PAULO BOUHID, NÚMEROS CRUZADOS, biblioteca24horas ISBN 8-578-93055-X
  • LAURA LEMAY, ROGERS CADENHEAD, APRENDA EM 21 DIAS JAVA 2 - TRADUÇÃO DA 4a ED. Elsevier Brasil ISBN 8-535-21685-5
  • HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
  • RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
  • SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à teoria dos Números. 3ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
  • LOVÁSZ, L. PELIKÁN, J. e VESZTERGOMBI, K. Matemática Discreta. 1ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
  • http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf

Ligações externasEditar