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Momento de inércia

Em mecânica, o momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, momento polar de inércia.

Para movimentos planos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem um único momento de inércia, medido em torno desse eixo.

IntroduçãoEditar

Definição escalarEditar

Quando está girando, o disco de uma serra elétrica certamente possui uma energia cinética associada à rotação. Para expressar tal energia cinética  , não se pode aplicar a fórmula convencional K = 12 mv2 ao disco como um todo, pois isso resultaria apenas na energia cinética do centro de massa do disco, que é nula. Em vez disso, há de se tratar o disco, assim como qualquer outro corpo rígido em rotação, como um conjunto de partículas a diferentes distâncias do centro do disco e, portanto, com diferentes velocidades. Dessa forma, a energia cinética total do objeto será a soma das energias cinéticas de cada partícula. Abstraindo a rotação de um corpo rígido como um conjunto de partículas em movimento circular em torno de um eixo fixo, as distâncias   de cada partícula   relacionam-se às suas velocidades   por uma velocidade angular  , igual para todas as partículas, pela relação  . Com isso, usando a definição de energia cinética para várias partículas, a princípio de massas   distintas, obtém-se a seguinte expressão:[1]

 

Nessa expressão, subentende-se que a soma é estendida a todas as partículas do corpo. A grandeza entre parênteses no lado extremo direito da equação depende da forma como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo da rotação. Denomina-se tal grandeza como sendo o momento de inércia do corpo em relação a tal eixo de rotação. O momento de inércia, representado pela letra  , depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação, isto é, seu valor só possui significado se for especificado em relação a qual eixo de rotação o corpo gira. Com isso, representando   a sua massa e   sua distância ao eixo de rotação, a definição formal de momento de inércia para uma partícula isolada é:[1]

Definição de momento de inércia (uma partícula)

 

CálculoEditar

Por definição, o momento de inércia   de uma partícula de massa   e que gira em torno de um eixo, a uma distância   dele, é[2]

 .

Se um corpo é constituído de   massas pontuais (partículas), seu momento de inércia total é igual à soma dos momentos de inércia de cada massa:

 ,

sendo   a massa de cada partícula, e   sua distância ao eixo de rotação.

Para um corpo rígido, podemos transformar o somatório em uma integral, integrando para todo o corpo   o produto da massa   em cada ponto pelo quadrado da distância   até o eixo de rotação:

 .

ExemplosEditar

 Ver artigo principal: Lista de momentos de inércia

Há vários valores conhecidos para o momento de inércia de certos tipos de corpos rígidos. Alguns exemplos (supondo que a distribuição de massa seja uniforme:[2]

  • Para um cilindro maciço de massa   e raio da base  , em torno de seu eixo:
 
  • Para uma esfera maciça de massa   e raio  , em torno de seu centro:
 
  • Para um anel cilíndrico de massa   e raio  , em torno de um eixo paralelo à geratriz e passando por seu centro:
 
  • Para um cilindro vazado de raio externo   e de raio interno  , em torno do seu eixo:
 
  • Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento  , perpendicularmente à barra e passando por seu centro:
 
  • Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento  , perpendicularmente à barra e passando por uma de suas extremidades:
 

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Halliday 2012, p. 261
  2. a b WALKER, Jearl (2016). Fundamentos de Física 10 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 270-273. ISBN 978-85-216-3035-7 

BibliografiaEditar

  • Halliday, David (2012). Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed). Rio de Janeiro, RJ: LTC - Livros Técnicos e Científicos 
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