Momento de inércia

Em mecânica, o momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, momento polar de inércia.

Para movimentos planos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem um único momento de inércia, medido em torno desse eixo.

Introdução editar

Definição escalar editar

Quando está girando, o disco de uma serra elétrica possui uma energia cinética associada à rotação. Para expressar tal energia cinética $K$ , não se pode aplicar a fórmula convencional $K = 12 mv 2$ ao disco como um todo, pois isso resultaria apenas na energia cinética do centro de massa do disco, que é nula. Em vez disso, há de se tratar o disco, assim como qualquer outro corpo rígido em rotação, como um conjunto de partículas a diferentes distâncias do centro do disco e, portanto, com diferentes velocidades. Dessa forma, a energia cinética total do objeto será a soma das energias cinéticas de cada partícula. Considerando a rotação de um corpo rígido como um conjunto de partículas em movimento circular em torno de um eixo fixo, as distâncias $r_{i}$ de cada partícula $i$ relacionam-se às suas velocidades $v_{i}$ por uma velocidade angular $\omega$ , igual para todas as partículas, pela relação $v_{i}=\omega r_{i}$ . Com isso, usando a definição de energia cinética para várias partículas, a princípio de massas $m_{i}$ distintas, obtém-se a seguinte expressão:^[1]

K=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}(\omega r_{i})^{2}={\frac {1}{2}}\left(\sum m_{i}r_{i}^{2}\right)\omega ^{2}

Nessa expressão, subentende-se que a soma é estendida a todas as partículas do corpo. A grandeza entre parênteses no lado extremo direito da equação depende da forma como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo da rotação. Denomina-se tal grandeza como sendo o momento de inércia do corpo em relação a tal eixo de rotação. O momento de inércia, representado pela letra $I$ , depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação, isto é, seu valor só possui significado se for especificado em relação a qual eixo de rotação o corpo gira. Com isso, representando $m$ a sua massa e $r$ sua distância ao eixo de rotação, a definição formal de momento de inércia para uma partícula isolada é:^[1]

Definição de momento de inércia (uma partícula)

$I=mr^{2}$

Cálculo editar

Por definição, o momento de inércia $I\,\!$ de uma partícula de massa $m\,\!$ e que gira em torno de um eixo, a uma distância $r\,\!$ dele, é^[2]

I=mr^{2}

.

Se um corpo é constituído de $n$ massas pontuais (partículas), seu momento de inércia total é igual à soma dos momentos de inércia de cada massa:

I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}

,

sendo $m_{i}$ a massa de cada partícula, e $r_{i}$ sua distância ao eixo de rotação.

Para um corpo rígido, podemos transformar o somatório em uma integral, integrando para todo o corpo $C$ o produto da massa $m\,\!$ em cada ponto pelo quadrado da distância $r\,\!$ até o eixo de rotação:

I_{c}=\int _{C}r^{2}\,dm\,\!

.

Exemplos editar

Há vários valores conhecidos para o momento de inércia de certos tipos de corpos rígidos. Alguns exemplos (supondo que a distribuição de massa seja uniforme:^[2]

Para um cilindro maciço de massa $M$ e raio da base $R$ , em torno de seu eixo:

I={\frac {1}{2}}MR^{2}

Para uma esfera maciça de massa $M$ e raio $R$ , em torno de seu centro:

I={\frac {2}{5}}MR^{2}

Para um anel cilíndrico de massa $M$ e raio $R$ , em torno de um eixo paralelo à geratriz e passando por seu centro:

I=MR^{2}

Para um cilindro vazado de raio externo $R$ e de raio interno $r$ , em torno do seu eixo:

I={\frac {M}{2}}(r^{2}+R^{2})

Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$ , perpendicularmente à barra e passando por seu centro:

I={\frac {1}{12}}ML^{2}

Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$ , perpendicularmente à barra e passando por uma de suas extremidades:

I={\frac {1}{3}}ML^{2}

Ver também editar

Referências

↑ ^a ^b Halliday 2012, p. 261
↑ ^a ^b WALKER, Jearl (2016). Fundamentos de Física 10 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 270-273. ISBN 978-85-216-3035-7

Bibliografia editar

Halliday, David (2012). Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed). Rio de Janeiro, RJ: LTC - Livros Técnicos e Científicos

[halliday-261-1] Halliday 2012, p. 261

[walker-2] WALKER, Jearl (2016). Fundamentos de Física 10 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 270-273. ISBN 978-85-216-3035-7

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