Operador numérico

Na mecânica quântica, para sistemas onde o número total de partículas não podem ser preservadas, o operador número é o observável que conta o número de partículas.

O número operador atua sobre o espaço de Fock. Deixe

$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }$

ser um estado de Fock, composto de uma única estado das partícula $|\phi _{i}\rangle$ elaborado a partir de uma base do espaço subjacente de Hilbert do espaço de Fock. Dada a correspondente criação e aniquilação de operadores$a^{\dagger }(\phi _{i})$ e $a(\phi _{i})\,$ definimos o número operador por

${\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})$

e temos

${\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }$

onde $N_{i}$ é o número de partículas no estado $|\phi _{i}\rangle$. A igualdade acima pode ser comprovado observando que

${\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}$

depois

${\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}$

Veja também

• Oscilador harmônico
• Oscilador harmônico quântico
• Teoria do campo quântico
• Termodinâmica

Bibliografia

• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. [S.l.: s.n.] ISBN 0-19-856633-6  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Segunda quantização notas por Fradkin