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Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.[1]

Índice

DefiniçãoEditar

Se   é um espaço vectorial sobre um corpo   chama-se base de   a um conjunto de vectores de   linearmente independentes que gera  

ExemplosEditar

  • O espaço vectorial   tem por base o conjunto[2]
 

que se denomina a sua base canónica.

  • No plano   a recta de equação   tem por base o conjunto  
  • O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto  
  • Cada corpo K pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo   forma uma base  
  • O espaço vectorial formado pelo vetor nulo   tem como base o conjunto vazio.[2]
  • Seja   um elemento algébrico sobre o corpo   sendo   uma extensão de   Então existe um polinômio   com coeficientes em   tal que   Podemos definir   o grau de   em   como o menor grau dos polinômios   em que   Então   é uma extensão algébrica de   e, portanto, podemos considerar   como um espaço vetorial sobre   Neste caso, a sua base é  

Cardinalidade e dimensãoEditar

Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:

  • o espaço formado só por   sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
  • o espaço   como espaço vectorial sobre o corpo   (a base é { }).

Os seguintes resultados, porém, são válidos:

  • Se um espaço vectorial tem uma base   finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma cardinalidade.[3]
  • De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial   tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por dimensão de  [4] Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.

ExistênciaEditar

Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial   tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto   linearmente independente de vectores de   existe uma base   de   que contém   Seja   o conjunto de todos as partes linearmente independentes de   que contêm   O conjunto   está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja   uma parte de   totalmente ordenada. Então   é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de   é novamente linearmente independente e contém   (ou seja, pertence a  ) e que contém todos os elementos de   O lema de Zorn afirma então que   tem algum elemento maximal   Então, como   ∈     é linearmente independente e contém   Se   não gerasse   haveria algum vector   ∈   que não seria combinação linear de elementos de   Então   ∪   seria também um conjunto linearmente independente que conteria   Mas   ⊂   ∪   e   ≠   ∪   o que está em contradição com   ser um elemento maximal de   Logo,   gera   e, portanto, é uma base.

Subespaços vectoriaisEditar

Se o espaço vectorial   tem uma base   e   é um subespaço vectorial de   então   tem uma base   com as seguintes propriedades:

  • Se   é um conjunto finito e   é um subconjunto próprio de   então   tem menos elementos que  
  • No caso geral, pode-se apenas afirmar que a cardinalidade de   é menor ou igual que a de  

Outra propriedade importante é a seguinte:

  • Se W é um subespaço vectorial de V, e W tem uma base B1, então existe uma base B de V tal que B1 é um subconjunto de B.

Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.

InterpretaçãoEditar

Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.

ReferênciasEditar

  1. Callioli 1990, p. 76–77
  2. a b Callioli 1990, p. 77
  3. Callioli 1990, p. 101
  4. Callioli 1990, p. 78

BibliografiaEditar

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 

Ligação ExternaEditar