Quadripotencial eletromagnético

O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como

$A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)\qquad \left(A^{a}=(\phi ,{\vec {A}})\right)$

na qual $\phi$ é o potencial elétrico, e ${\vec {A}}$ é o potencial magnético, um vetor potencial.

Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)$

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque $A_{\alpha }$ é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno

$A^{\alpha }A_{\alpha }=|{\vec {A}}|^{2}-{\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}\qquad \left(A^{a}A_{a}\,=|{\vec {A}}|^{2}-\phi ^{2}\right)$

é o mesmo em cada quadro referencial inercial.

Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ para simplificar as equações de Maxwell como:

$\Box ^{2}A_{\alpha }=-\mu _{0}J_{\alpha }\qquad \left(\Box ^{2}A_{\alpha }=-{\frac {4\pi }{c}}J_{\alpha }\right)$

onde $J_{\alpha }$ são os componentes do quadricorrente,

e

$\Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ é o operador d'Alembertiano.

Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:

$\Box ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box ^{2}\phi =-4\pi \rho \right)$

$\Box ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)$

Referências

• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.