Princípio da Escolha Dependente

Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio e uma relação binária sobre que satisfaz a condição de que para todo existe para o qual , existe uma seqüência de elementos de tal que para todo . Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

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O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja   um conjunto não-vazio e   uma relação binária sobre   satisfazendo

 

Dado  , defina  ; da hipótese, temos  . Tome a família  , admitindo o axioma da escolha, existe uma função

 

satisfazendo   para cada  . É evidente, portanto, que   satisfaz   para todo   e todo  .

Porém, DC não implica o axioma da escolha[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC ; com efeito seja   uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

 

Onde   é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

 

Assim, seja   tal que, dados  ,   se, e somente se, existir   para o qual tenhamos  ,   e   para todo  , isto é

 

É evidente que   satisfaz

 

Portanto, existe uma seqüência   tal que

 

para todo natural  . Basta agora definir   por  . É evidente que   é uma função escolha em  .

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire [2]. De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 [3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

 

Referências

  1. Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.
  2. Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice Arquivado em 13 de fevereiro de 2012, no Wayback Machine., forma 78.
  3. Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.

Bibliografia

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  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.