Princípio de Cavalieri

O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:[2][3][4]

Trecho do Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota[1] (Teorema I. Proposição I.).

"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."

E a proposição análoga para sólidos:

"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."

O Princípio de Cavalieri pode ser usado para se deduzir uma fórmula para o volume da esfera.

HistóriaEditar

Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.[5]

Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XVI, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.


DefiniçãoEditar

Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos   e   em um plano horizontal  e um plano paralelo a  , que seria ,   de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido   é igual ao volume do sólido  .

Considerando que os sólidos   e   sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.


Volume do Cilindro ( Princípio de Cavalieri)Editar

Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.

Suponha-se um plano   paralelo ao plano   que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por   determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.

 : Corte feito pelo plano   no paralelepípedo;

 : Base do paralelepípedo no plano  ;

 :Corte feito pelo plano   no cilindro;

 : Base do cilindro no plano  .

Sabendo que  (área do paralelepípedo) =  ( área do cilindro),temos que  =   e  = . Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de  .

Como  = = , com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:


 ( Volume do paralelepípedo)=  (área da base)  (altura)= (volume do cilindro)

Portanto:

 =    

O mesmo é aplicado ao prisma:

 (volume do prisma)=   

Volume da Esfera (Princípio de Cavalieri)Editar

Consideremos uma esfera   de centro   e raio  , delimitada pelos planos  e   , paralelos entre si e tangentes à esfera.

Consideremos ainda o plano   entre os planos  e  , paralelo a ambos. A intersecção entre o plano   e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro   e raio  .

Denotemos por   a distância entre o centro da esfera,   e centro da secção transversal,  .

Construamos o ponto  , na intersecção da secção transversal com o plano  . Ao traçarmos um segmento com extremos em   e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices  , retângulo em  , com hipotenusa medindo   e catetos medindo respectivamente   e  .

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos  que podemos reescrever como  .

Por outro lado, a área da seção será dada por  . Substituindo o valor de  encontrado acima, temos  .

O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.

Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a  . Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos  e  , a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja,  .

Note que a clepsidra será intersectada pelo plano  , e a secção transversal será um círculo de raio  . A área da secção da pode ser obtida por  .

Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a  , na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que  está para   , assim como   está par a , ou seja,

 .

Daí temos que  .

Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.

Construindo, entretanto, um cilindro de altura  e base de raio  em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.

Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano   com o cilindro terá seu raio medindo  .

Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por  poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.

Logo, temos  . Colocando  em evidência, temos que  .

Observe que temos  , isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.

O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.

O Volume do cilindro em questão e dado por  e o volume de cada cone dado por  .

Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).

Então, temos

 

 

 

 .

Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por  , como pretendíamos.

Geogebra e o princípio de CavalieriEditar

Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.

ReferênciasEditar

  1. The Garden of Archimedes: A Museum for Mathematics – Squaring methods from antiquity to the Seventeenth Century.
  2. N. Bourbaki. Elements of the History of Mathematics. [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 179. ISBN 978-3-540-64767-6 
  3. John Lane Bell. The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy. [S.l.]: Polimetrica s.a.s. p. 69. ISBN 978-88-7699-015-1 
  4. Margaret E. Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus. [S.l.]: Courier Dover Publications. p. 126. ISBN 978-0-486-49544-6 
  5. Tom Apostol (31 de janeiro de 2013). New Horizons in Geometry. [S.l.]: MAA. p. 139. ISBN 978-0-88385-354-2 

Leitura adicionalEditar

Ver tambémEditar

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