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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Cone (desambiguação).
Um cone.

Em geometria, o cone é o sólido geométrico de base circular definido a partir de uma pirâmide de base regular, cujo número de lados/vértices da base tende ao infinito, e a área de cada face lateral tende a zero.

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Índice

ClassificaçãoEditar

Os cones podem ser divididos em:

  • Reto;
  • Oblíquo;
  • Equilátero.

RetoEditar

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

OblíquoEditar

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

EquiláteroEditar

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorialEditar

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

FórmulasEditar

O volume,  , de um cone de altura,  , e base com raio,  , é   do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

 

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a   da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone   é dada por:

 

onde,   é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula,   é a área da base, enquanto que o segundo termo   é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

 

Com uso de cálculo integralEditar

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura   e raio   corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

 

em torno do eixo  .

Volume

 
Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

 

Para um deslocamento infinitesimal   tem-se o incremento de volume:

 

Então, integrando de   a   obtemos o volume do cone:

 

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

 

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal   corresponde a um deslocamento de comprimento de linha   sobre a reta  . Pelo Teorema de Pitágoras temos que  , ou seja:

 

Considerando a rotação do segmento   em torno do eixo  , temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

 

Substituindo   e   em função de   e  , obtemos:

 

Integrando de   a  , temos:

 

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

 

onde,  .

Para cones equiláterosEditar

A área da base do cone é:

 

Pelo Teorema de Pitágoras temos que  , logo  , assim:

 

Como o volume do cone é obtido por   do produto da área da base pela altura, temos:

 

Similarmente, a área lateral é dada por:

 

e, a área total por:

 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

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