Princípio de Fermat

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que:

Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.

"A trajetória percorrida pela luz ao se propagar de um ponto a outro é tal que o tempo gasto em percorrê-la é um mínimo."

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:

"A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito das possíveis variações de trajetória."

Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos $0_{1}$ e $0_{2}$ por meio de uma função chamada caminho ótico definida como ${\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]$ a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

$\delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=0.$

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.

Equação da trajetória de um raio luminoso

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

${\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]=0$

e se deduz a partir do Princípio de Fermat.

Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;

$\delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\delta (n({\vec {r}}))ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})\delta (ds)}=$

=$\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {d(\delta {\vec {r}})}{ds}}ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot \delta {\vec {r}}\right]_{O_{1}}^{O_{2}}-\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0.$

Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:

$\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\left[{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left(n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right)\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0\qquad \forall \delta {\vec {r}}$

portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração $n({\vec {r}})$. Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários ${\hat {u}}_{t}$ e ${\hat {u}}_{n}$:

${\vec {\nabla }}n({\vec {r}})={\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}+n({\vec {r}}){\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\hat {u}}_{t}+{\frac {n({\vec {r}})}{\rho ({\vec {r}})}}{\hat {u}}_{n}$

sendo $\rho$ o raio da circunferência osculatriz no ponto ${\vec {r}}$ à trajetória.

Lei da reflexão

Ver artigo principal: lei de Snell

Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.

Lei da refração

Ver artigo principal: lei de Snell

O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.

$n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}$

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração $n_{1}\$ e um segundo meio de propagação com índice de refração $n_{2}\$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam $A=(x_{A},\;y_{A})$ e $B=(x_{B},\;y_{B})$ dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto $P=(x,\;0)$.

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer ${\overline {AP}}$ e ${\overline {PB}}$.

Sejam $v_{1}$ e $v_{2}$ as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

$t_{1}={\frac {\overline {AP}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}$; $t_{2}={\frac {\overline {PB}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}$

$t={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}$

Se buscarmos o valor de $x\$ quando $t\$ é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de $x\$ para o qual a função derivada de $t\$ assume valor 0.

${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}+{\frac {x-x_{B}\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}=0$

${\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}$

${\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\overline {AP}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\overline {PB}}}}$

${\frac {1}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {1}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}$

${\frac {c}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {c}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}$

$n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}$