Circunferência

Na geometria euclidiana, uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo. O ponto fixo é o centro e a equidistância, o raio da circunferência.

Definição Formal

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Assim, dados um plano $\alpha$, um ponto $O$ e uma distância $r$, temos:

$\lambda \left(O,r\right)=\left\{P\in \alpha /\quad {d_{P,O}=r}\right\}$,

onde $\lambda \left(O,r\right)$ representa a circunferência de centro $O$ e raio $r$.

Uma circunferência $\lambda$ de raio $r$ e centro $O$.

Posições relativas entre ponto e circunferência

Exemplo de posições relativas entre pontos e circunferência: $A$ é ponto interno a circunferência; $B$ está sob a circunferência e $C$ é ponto externo à circunferência.

Dado um ponto $X$ e uma circunferência $\lambda \left(O,r\right)$, temos

• $X\quad {\text{é interno a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}<r}$, ou seja, um ponto qualquer é interno a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é menor do que o raio da circunferência.
• $X\quad {\text{pertence a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}=r}$, ou seja, um ponto qualquer pertence (ou está sobre) a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.
• $X\quad {\text{é externo a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}>r}$, ou seja, um ponto qualquer é externo a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência.

Assim, com base nessas definições, podemos definir interior e exterior de uma circunferência.

O interior de uma circunferência é o conjunto dos pontos internos a ela e o exterior de uma circunferência é o conjunto de pontos externos a ela.

Quando unimos o interior de uma circunferência à própria circunferência temos um círculo ou um disco. Logo, um círculo é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado nesse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) dada.

Corda, diâmetro e raio

Ver artigo principal: Corda (geometria)

Corda, diâmetro e raio são segmentos que estão associados a uma circunferência.

Corda

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

Diâmetro

Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro da circunferência, a maior corda da mesma, também sendo o dobro do raio.

Raio

Raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência.

Exemplos de corda, diâmetro e raio de uma circunferência: Raio ${\overline {AO}}$, Diâmetro ${\overline {BC}}$ e Corda ${\overline {ED}}$.

Arco de circunferência

Dois arcos congruentes.

Adição de dois arcos

Desigualdade de Arcos: ${\widehat {AB}}>{\widehat {CD}}$

Ver artigo principal: Arco (matemática)

Arco de circunferência é uma parte do comprimento da circunferência delimitado por dois pontos quaisquer (que são os extremos do arco).

De maneira mais formal, consideremos uma circunferência $\lambda$ de centro $O$ e, sejam $A$ e $B$ dois pontos de $\lambda$ que não sejam extremidades de um diâmetro, temos:

1. Arco menor ${\widehat {AB}}$ é a reunião dos conjuntos dos pontos $\{A\}$, $\{B\}$ e de todos os pontos de $\lambda$ que estão no interior do ângulo $A{\hat {O}}B$.
2. Arco maior ${\widehat {AB}}$ é a reunião dos conjuntos dos pontos $\{A\}$, $\{B\}$ e de todos os pontos de $\lambda$ que estão no exterior do ângulo $A{\hat {O}}B$.

Arcos congruentes

Dois arcos ${\widehat {AB}}$ e ${\widehat {CD}}$ de uma circunferência de centro $O$ são congruentes se, e somente se, os ângulos $A{\hat {O}}B$ e $C{\hat {O}}D$ são congruentes.

Ou seja:

${\widehat {AB}}\equiv {\widehat {CD}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B\equiv {C{\hat {O}}D}}$

Adição de arcos

Numa circunferência de centro $O$, o arco ${\widehat {AB}}$ é a soma dos arcos ${\widehat {AC}}$ e ${\widehat {CB}}$ se, e somente se, o ângulo $A{\hat {O}}B$ é soma dos ângulos $A{\hat {O}}C$ e $C{\hat {O}}B$.

Ou seja:

${\widehat {AB}}={\widehat {AC}}+{\widehat {CB}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B=A{\hat {O}}C+C{\hat {O}}B}$

Desigualdade de arcos

Numa circunferência de centro $O$, o arco ${\widehat {AB}}$ é maior que o arco ${\widehat {CD}}$ se, e somente se, o ângulo $A{\hat {O}}B$ é maior que o ângulo $C{\hat {O}}D$.

Ou seja:

${\widehat {AB}}>{\widehat {CD}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B>C{\hat {O}}D}$

Setor circular e segmento circular

Setor circular.

Para essas definição vamos considerar um círculo $c$ de centro $O$ e sejam $A$ e $B$ dois pontos na circunferência de $c$ que não sejam extremidades de um diâmetro.

Setor circular

Ver artigo principal: Setor circular

• Setor circular menor $AOB$ é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios ${\overline {OA}}$ e ${\overline {OB}}$ e de todos os pontos do círculo $c$ que estão no interior do ângulo $A{\hat {O}}B$.
• Setor circular maior $AOB$ é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios ${\overline {OA}}$ e ${\overline {OB}}$ e de todos os pontos do círculo $c$ que estão no exterior do ângulo $A{\hat {O}}B$.

Segmento circular

Ver artigo principal: Segmento circular

Segmento circular menor $AB$ é a intersecção do círculo $c$ com o semiplano de origem na reta ${\overleftrightarrow {AB}}$ e que não contém o centro de $c$.

Segmento circular maior $AB$ é a intersecção do círculo $c$ com o semiplano de origem na reta ${\overleftrightarrow {AB}}$ e que contém o centro de $c$.

Posições relativas entre reta e circunferência

Dados uma reta $r$ e uma circunferência $\lambda$ em um plano qualquer, podemos ter apenas uma das duas condições abaixo:

• $r$ é secante a $\lambda$;
• $r$ é tangente a $\lambda$.
• $r$ é exterior a $\lambda$

Secante

Reta secante a uma circunferência

Uma reta é secante a uma circunferência quando elas se interceptam em dois pontos distintos.

Assim dizemos que a reta e a circunferência são secantes.

$r\cap \lambda =\{A,B\}$

Toda reta secante a uma circunferência define uma corda na mesma circunferência.

Propriedades da secante

Como toda reta secante define uma corda em uma circunferência, nessas propriedades, trataremos que as cordas e as retas secantes possuem as mesmas propriedades.

• Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.
• Todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Assim, essa propriedade pode ser interpretada como sendo a "ida" e a volta do mesmo "teorema", que afirma, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda definida pela intersecção da reta com a circunferência."

Demonstração

Imagem suporte para primeira parte da demonstração

Primeira parte

Primeiramente vamos demonstrar que toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

$A,B\in \lambda (O,r),\quad {M}{\text{ é ponto médio de }}{\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {OM}}\perp {\overline {AB}}}$

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos $\triangle {AMO}$ e $\triangle {BMO}$.

Pode-se observar que esses triângulos são congruentes, da seguinte forma:

${\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}},\quad {\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMO}\equiv \triangle {BMO}$.

Assim, temos que $A{\hat {M}}O\equiv {B{\hat {M}}O}$.

Temos também que esses dois ângulos são suplementares, visto que um é o ângulo externo adjacente ao outro.

Assim temos:

$med\left(A{\hat {M}}O\right)+med\left(B{\hat {M}}O\right)=180^{\circ }\qquad \Longrightarrow \qquad {2.med\left(A{\hat {M}}O\right)}=180^{\circ }\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(A{\hat {M}}O\right)}=90^{\circ }$

Imagem suporte para segunda parte da demonstração

Logo, ${\overline {OM}}\equiv {\overline {AB}}$.

Tento isso demonstrado, podemos afirmar, sem perda de generalidade que toda reta secante é perpendicular ao raio no ponto médio da corda que define na circunferência.

Segunda parte

Agora vamos demonstrar que todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

$A,B\in \lambda (O,r),\quad {\overline {OM}}\perp {\overline {AB}},\quad {M}\in {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}}$

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos $\triangle {AMO}$ e $\triangle {BMO}$.

Visto que esses dois triângulos são triângulos retângulos, podemos facilmente verificar sua congruência, da seguinte forma:

${\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}}\quad \left(CH\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMO}\equiv \triangle {BMO}$

Dessa congruência temos que ${\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}$, que significa que $M$ é ponto médio de ${\overline {AB}}$.

Com essas duas demonstrações podemos afirmar, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda que define."

Tangente

Uma reta e uma circunferência são tangentes quando se interceptam em apenas um ponto. A esse ponto comum damos o nome de ponto de tangência.

$r\cap \lambda =\{T\}$

Reta tangente a uma circunferência

Propriedades da tangente

Quanto a retas tangentes à circunferências temos duas propriedades, que na verdade são a "ida" e a "volta" do mesmo teorema:

• Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência.
• Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Então, essas duas propriedades podem ser enunciadas sob forma de um único teorema:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio no ponto de tangência."

Demonstração

Primeira parte

Reta perpendicular a uma circunferência

Primeiramente vamos demonstrar a primeira parte do teorema, que pode se enunciada da seguinte forma, onde $\lambda$ é uma circunferência de centro $O$ e $s$ uma reta.

$A\in \lambda ,\quad {s}\perp {\overline {OA}}\quad {\text{e}}\quad {s}\cap {\overline {OA}}=\{A\}\qquad \Longrightarrow \qquad {s}\cap \lambda =\{A\}$

Para demonstrar essa proposição utilizaremos demonstração por absurdo.

Assim, partiremos admitindo que há pelo menos dois pontos na intersecção entre a reta e a circunferência e buscaremos alguma contradição a partir disso. Ou seja: $s\cap \lambda =\{A,B\}$.

Imagem suporte da primeira parte da demonstração

A partir disso, temos:

$A,B\in \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {OAB}\quad {\text{é isósceles}}\qquad \Longrightarrow \qquad {O{\hat {A}}B\equiv {O{\hat {B}}A}}\qquad \left(I\right)$

Pela hipótese temos:

$s\perp {\overline {OA}}\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(O{\hat {A}}B\right)}=90^{\circ }\left(II\right)$

De $\left(I\right)$ e $\left(II\right)$ encontramos nossa contradição, pois temos um triângulo que possui dois ângulos retos na base.

Logo $s\cap \lambda =\{A\}$, o que significa que a reta e a circunferência são tangentes.

Segunda parte

Imagem suporte para segunda parte da demonstração

Agora queremos demonstrar que se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, queremos demonstrar:

$s\cap \lambda =\{A\}\qquad \Longrightarrow \qquad {s\perp {\overline {OA}}}$

Para demonstrar essa afirmação iniciaremos supondo que $s$ não seja perpendicular a ${\overline {OA}}$ e assim entraremos em contradição com a nossa hipótese.

Assim, se $s$ não for perpendicular a ${\overline {OA}}$ podemos tomar um ponto $M\in {s}$ de modo que ${\overline {OM}}\perp {s}$ de modo que $M$ e $A$ sejam distintos.

Agora tomaremos na semirreta oposta a ${\overrightarrow {MA}}$ um ponto $B$ tal que ${\overline {MB}}\equiv {\overline {MA}}$.

Imagem suporte para segunda parte da demonstração

A partir disso podemos verificar a congruência de triângulos que segue:

${\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}},\quad {\overline {OM}}\perp {\overline {MA}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {MB}}\equiv {\overline {MA}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {OMB}\equiv \triangle {OMA}$.

Visto que os dois triângulos são congruentes, temos que seus respectivos lados também são.

Assim, temos que ${\overline {OB}}\equiv {\overline {OA}}$.

Como ${\overline {OA}}$ é raio da circunferência, temos que ${\overline {OB}}$ também é, o que implica $B\in \lambda$.

Então temos que $s\cap \lambda =\{A,{B}\}$, o que contradiz nossa hipótese de que a reta seja tangente à circunferência.

Logo, se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é também perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.

Tendo isso demonstrado podemos afirmar:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência."

Exterior

Uma reta é exterior a uma circunferência quando as duas não se interceptam, ou seja, sua intersecção é vazia.

$r\cap \lambda =\varnothing$

Uma reta exterior a uma circunferência

Posições relativas entre duas circunferências

Quanto a posição relativa entre duas circunferências é comum classificar quanto a quantidade de intersecções que duas circunferências podem ter.

Assim temos que duas circunferências podem ser coincidentes, secantes, tangentes ou não possuírem intersecção.

Além disso, duas circunferências podem ser também concêntricas, quando seus centros são coincidentes.

Se, além de serem concêntricas elas tiverem o mesmo raio dizemos que elas são coincidentes (ou que são a mesma circunferência).

Circunferências em posições relativas: 1. Distintas, 2. Tangência externa, 3. Secantes, 4. Tangência interna e 5. Concêntricas.

Circunferências tangentes

Duas circunferências são tangentes quando possuem apenas um ponto em comum, ou seja:

$\lambda _{1}{\text{e }}\lambda _{2}{\text{ são tangentes }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda _{1}\cap \lambda _{2}=\{T\}$

Tangentes internas

Uma circunferência é tangente interna a outra se têm apenas um ponto em comum e todos os demais pontos de uma são internos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é igual à diferença dos raios das circunferências:

$\lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é tangente interior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}=|r_{1}-r_{2}|}$

Tangentes externas

Uma circunferência é tangentes externas a outra se têm apenas um ponto em comum e todos os demais pontos de uma são externos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre o centros é igual à soma dos raios das circunferências:

$\lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é tangente exterior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}=r_{1}+r_{2}}$

Circunferências secantes

Duas circunferências são secantes quando possuem dois, e apenas dois, pontos em comum, ou seja:

$\lambda _{1}{\text{e }}\lambda _{2}{\text{ são secantes }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda _{1}\cap \lambda _{2}=\{A,B\}$

Diferentemente de quando falamos de circunferências tangentes, quando tratamos de circunferências secantes não faz sentido falar de secantes internas ou externas.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é maior que o módulo da diferença dos raios e menor que a soma dos raios:

$\lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é secante a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {|r_{1}-r_{2}|}<{d_{O_{1},O_{2}}<r_{1}+r_{2}}$

Circunferências sem pontos em comum

Circunferências sem pontos em comum são, simplesmente, circunferências cuja intersecção entre ambas é vazia.

Assim, quando a intersecção entre duas circunferências é vazia temos que: ou elas são externas ou uma é interna a outra.

Circunferências externas

Duas circunferências são externas se os pontos de uma são externos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é maior que a diferença dos raios da circunferência:

$\lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right)\quad {\text{e}}\quad \lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\quad {\text{são externas}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}>r_{1}+r_{2}}$

Circunferências internas

Uma circunferência é interna a outra se todos os seus pontos são pontos internos da outra.

Isso ocorre quando a distância entre o centros é menor que a soma dos raios da circunferência:

$\lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ interior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}<r_{2}-r_{1}}$

No caso das circunferências concêntricas, que foram citadas anteriormente, percebe-se que elas são um caso particular de circunferências internas, onde $O_{1}=O_{2}$.

Segmentos tangentes conduzidos de um mesmo ponto

Se de um ponto $P$ conduzirmos os segmentos ${\overline {PA}}$ e ${\overline {PB}}$, ambos pertencentes a retas distintas e tangentes a uma circunferência, com $A$ e $B$ na circunferência, então ${\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}$.

Demonstração

Queremos demonstrar que:

${\overline {PA}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {PB}}\quad {\text{tangentes a }}\lambda ;\quad {A,B}\in \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}$

Seja $O$ o centro de $\lambda$, podemos traçar o segmento ${\overline {OP}}$ e observar que, assim, surgem dois triângulos: $\triangle {PAO}$ e $\triangle {PBO}$.

Pelo fato de $A$ e $B$ pertencerem a circunferência temos ${\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}$ e, pelo fato de ${\overleftrightarrow {PA}}$ e ${\overleftrightarrow {PB}}$ serem tangente a $\lambda$, o que nos garante que $O{\hat {A}}P$ e $O{\hat {B}}P$ são ângulos retos.

Assim temos que esses dois triângulos são triângulos retângulos que possuem um cateto e a hipotenusa congruentes, o que implica os triângulos serem congruentes:

${\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {OP}}\equiv {\overline {OP}}\quad \left(CH\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {PAO}\equiv \triangle {PBO}$.

Como os dois triângulos são congruentes, temos que:

${\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}$.

Equações

Uma circunferência pode ser representada por equações algébricas.

Coordenadas retangulares

Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares, uma circunferência pode ser descrita pela equação

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,,$

na qual $a$ e $b$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio. Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação é

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,.$

Demonstração

Vamos demonstrar que uma circunferência $\lambda$ de raio $r$ e centrada no ponto $O\left(a,b\right)$ é

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\quad .$

Por definição temos que uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que são equidistantes a um dado ponto nesse plano.

Assim, podemos definir $\lambda$ da seguinte forma:

$\lambda =\{{P\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}}|\quad {d_{O,P}}=r}\$

Pela fórmula da distância entre dois pontos, da geometria analítica (ou simplesmente analisando o triângulo retângulo, como mostra a figura ao lado), temos:

${d_{P,O}=r}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$

Equações paramétricas

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas, em função de um parâmetro $t$ e usando funções trigonométricas:

$x=a+rcos(t)$

$y=b+rsen(t)\,.$

Ou simplesmente com uma circunferência $\lambda$ de raio $r$ e centrada em $O\left(a,b\right)$sendo o conjunto de vetores:

$\lambda =\{\left(a+r.\cos(t),b+r.\operatorname {sen}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{2},\quad 0\leq {t}\leq 2\pi \}$

Neste caso, $t$ é a variável paramétrica, variando entre 0 e 2$\pi$ radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da forma $Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$, com coeficientes reais. Sendo que $A$ deve ser igual a $B$ e diferente de zero e $C$ deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação:

$R^{2}={\frac {D^{2}+E^{2}-4A.F}{4A^{2}}}$.

Perímetro

A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro, $c$, pode ser calculada através da equação

$c=\pi d=2r\ \pi ,$

em que $d$ é o diâmetro da circunferência, ou seja, o dobro de seu raio:

$d=2r\,.$

Também temos $\pi$ (pron. pi) que é a constante, cujo valor é

$\pi =3,14...$

Uma circunferência com raio 1 unidade tem perímetro de comprimento 2π.

Círculo

O círculo é a área interna ($a$) delimitada pela circunferência, que pode ser calculada usando a equação

$a=\pi r^{2}\ =\pi d^{2}/4.$

Seção cônica

A circunferência é a curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua base.

Seções cônicas: A = Parábola, B = Circunferência (parte de baixo do duplo cone) e Elipse (parte de cima), C = Hipérboles

Ver também

• Lugares geométricos
• Círculo
• Diâmetro
• Retificação da circunferência
• Trigonometria

Bibliografia

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ligações externas

• Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [1]
• George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [2]
• Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [3]