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Sete pontes de Königsberg

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Esquema de pontes.
Grafo estilizado das pontes.

Sete pontes de Königsberg, ou, na sua forma portuguesa, de Conisberga, é um famoso problema histórico da matemática resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução negativa originou a teoria dos grafos.[1]

O problema é baseado na cidade de Königsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado), que é cortada pelo Rio Prególia, onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete pontes, conforme mostra a figura ao lado. Das sete pontes originais, uma foi demolida e reconstruída em 1935, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial - especificamente durante o bombardeamento de Königsberg, em agosto de 1944.[2]e outras duas foram demolidas para dar lugar a uma única via expressa. Atualmente apenas duas pontes são da época de Leonhard Euler.

Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições.

Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em linhas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é que de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente. Se não houver pontos com número ímpar de caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso não é possível quando temos dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o início e outro o fim.

Referências

  1. Leonhard Euler: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis
  2. Peter Taylor (2000). Australian Mathematics Trust, ed. «What Ever Happened to Those Bridges?». Consultado em 12 de abril de 2010. Arquivado do original em 19 de março de 2012 

Ver tambémEditar

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