Projeção estereográfica

Corte transversal de uma esfera. A partir do ponto Z (origem) projeta-se o ponto P (ponto da superfície da esfera) sobre o plano v (plano tangente à esfera), o que resulta no ponto P (imagem do ponto P sobre o plano v).

Em geometria , com aplicações em cartografia, a projeção estereográfica é um tipo de projeção em que a superfície de uma esfera é representada sobre um plano tangente a ela, utilizando-se como origem um ponto diametralmente oposto ao ponto de tangência daquele plano com a esfera.

CartografiaEditar

 
Panorama de 120 fotografias utilizando projeção estereográfica, Dent de Vaulion, cantão de Vaud, Suíça.

Em cartografia, a projeção estereográfica resulta da projeção geométrica de pontos da superfície da Terra sobre um plano tangente a ela, a partir de um ponto de origem situado na posição diametralmente oposta ao ponto de tangência. Esta projeção é também chamada de azimutal ortomorfa.

A escala em uma projeção estereográfica aumenta com a distância do ponto de tangência, porém mais lentamente que em uma projeção gnomônica. Um hemisfério completo pode ser representado em uma projeção estereográfica, sem distorções excessivas. Tal como em outras projeções azimutais, os círculos máximos que passam pelo ponto de tangência aparecem como linhas retas. Todos os demais círculos, incluindo meridianos e paralelos, são representados como círculos ou arcos de círculos.

Em Cartografia Náutica, o principal uso da projeção estereográfica é para a construção de cartas das regiões polares.

MatemáticaEditar

Pode-se demonstrar matematicamente que a esfera   menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite fazer sua projeção estereográfica no plano.

Por definição,  

Assim, considere   e defina a reta:

 

e o plano:

 

Assim:  

 

Assim

 

Bem definida

Observemos que   está bem definida pois o ponto   que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da   Portanto esta função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam   e   com   e   assim:

 

 

Portanto,   Logo   é injetora.

Sobrejetora

Tome   e   Considere a reta:

 

  ponto   tal que  

 

Logo o ponto   que existe é da forma:

 

É facilmente verificável que   ou seja,  

Assim concluímos que   é sobrejetora e podemos definir:

 

Observe que  

Mostrar que,  

 

Analogamente, mostra-se que  

Portanto   é a inversa de  

Continuidade

Como   e   possuem todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, conclui-se que ambas são contínuas, e portanto   é um homeomorfismo.

Ligações externasEditar

  • Weisstein, Eric W. "Stereographic Projection." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]
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