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Uma esfera.
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Esfera (desambiguação).

A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum". É tida também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua, cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior, chamado centro; ou seja: é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro; ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico.[1] Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: em que a, b, c são as coordenadas do centro da esfera nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera. A esfera é uma forma circular ou seja esférica como a forma de uma bola.

Área e volumeEditar

 
semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula[2]:

 

O volume de uma esfera é dado pela fórmula[2]

 

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x segmento esféricoEditar

 
Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

 

Área do Segmento Esférico:

 

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

Logo, o volume do segmento é:

 

Fuso x cunhaEditar

  Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina" (metaforicamente). Formalmente, o fuso é a interseção da superfície de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da mesma[2].

Área do fuso:

 

  é o ângulo (em graus) do fuso.

Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera[2].

O volume da cunha é:

 

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

VolumeEditar

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

 

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

 

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

 

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras:

 

Substituindo y:

 

Calculando a integral:

 

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

 

ÁreaEditar

 
Cálculos de superfície de uma esfera

Uma vez provado o volume, podemos demonstrar a área da superfície a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):

 

Usando a primeira parte do teorema fundamental do cálculo, onde  , temos que  , logo:

 

Que pode ser abreviada como:

 

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento infinitesimal de área de superfície da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

 

Logo, a área total será:

 

Equação da esfera em R3Editar

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x0, y0, z0) e raio r é o lugar geométrico tal que:

 

Na forma parametrizada

 
 
 


Ver tambémEditar

Referências

  1. Eric W. Weisstein. «Esfera». Wolfram Research. MathWorld. Consultado em 11 de novembro de 2012 
  2. a b c d Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 10 7 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717587 

Ligações externasEditar

 
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