Propriedades de raízes de polinômios

Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo:

onde os coeficientes são números complexos e . Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo.[1][2]

Teorema Fundamental da álgebra

editar
 Ver artigo principal: teorema fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra diz que "um polinômio de grau n tem n raízes se forem considerados as raízes reais e imaginárias com seu grau de multiplicidade."[1] A partir desse teorema podemos escrever um polinômio de grau   com raízes   de uma maneira diferente:

 

Onde:   e o   é o coeficiente de   e   é o grau de multiplicidade da raiz  

Cota de Laguerre-Thibault

editar

O teorema de Laguerre diz que dado um polinômio   com coeficientes reais e dado um número, obtemos  . Se os coeficientes de   e   forem todos positivos ou nulos, então teremos que todas as raízes reais positivas   verificam  .

Dado   com coecientes reais, fazendo a deflação de   por  ,  ,

 ..., até  , onde   tenha todos os seus coeficientes positivos ou nulos, assim como   tal   é conhecido como cota superior das raízes reais de  . Para determinar a cota inferior deve se fazer o mesmo procedimento para   e assim tem-se a cota inferior.

Por exemplo:
Dado o polinômio  .

Consideramos a tarefa de localizar as raízes de  .

1 -3 2 -5 20 -10
1 1 -2 0 -5 15
1 -2 0 -5 15 5
1 -3 2 -5 20 -10
2 2 -2 0 -10 20
1 -1 0 -5 10 10
1 -3 2 -5 20 -10
3 3 0 6 3 69
1 0 2 1 23 59

Portando temos que todas as raízes positivas de   são menores que  . Conclui-se que   é cota superior de  .

Para localizar as raízes negativas faz-se o mesmo procedimento, porém, agora o procedimento é aplicado ao polinômio obtido ao multiplicar-se   por  .

1 3 2 5 20 10
1 1 4 6 11 31
1 4 6 11 31 41
Portanto temos que todas as raízes negativas de   são maiores que  . Conclui-se que   é Cota inferior de  .
Temos então que as raízes de   pertencem ao intervalo  .[3]

Cota de Kojima

editar
Tendo a sequencia de valores   com  
Assim todas as raízes de   encontram-se no círculo do plano complexo onde o raio é a soma dos dois maiores valores da sequencia.

Por exemplo:

Dado o polinômio  
Verificamos que a série de fatores é:
 .
Concluimos que a cota de Kojima é:
 

Cota de Cauchy

editar

Dado um polinômio  , tem-se que toda raiz real ou complexa da equação   obedece a relação:  . Onde temos que:

 

Tendo o processo interativo com  

 

Por exemplo:

Dado o polinômio   determine a cota de Cauchy.

Temos então:

 
Com  , o processo interativo converge a  .

Referências

  1. a b Alejandro Borche. Métodos numéricos. [S.l.]: Editora UFRGS 
  2. Alvaro Luiz de Bortoli ;Carolina Cardoso ;Maria Paula Gonçalves Fachin; Rudnei Diasda Cunha. Introdução ao cálculo numérico 2ª ed. [S.l.: s.n.] 
  3. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016