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Função (matemática)

relação binária em matemática, que é total à esquerda e tem unicidade à direita
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Uma função que associa cada uma das formas coloridas à sua cor.

Uma função ou aplicação é uma relação de um conjunto com um conjunto Usualmente, denotamos uma tal função por onde é o nome da função, é chamado de domínio, é chamado de contradomínio e expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos com os elementos Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função trigonométrica, função afim (ou função polinomial do 1° grau), função modular, função quadrática (ou função polinomial do 2° grau), função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras.[1][2][3]

Índice

ConceitoEditar

As funções são definidas por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento   (às vezes denominado variável independente) um único valor da função   (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc.. Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no espaço   geometricamente representado no plano cartesiano). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada   (valor do argumento).[3][4][5]

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos   do contradomínio para os quais existe pelo menos um   no domínio tal que   (i.e.,   se relaciona com  ), é o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da função.[5]

Definição formalEditar

Sejam dados os conjuntos     uma relação   e o conjunto dos pares ordenados   Dizemos que   é uma função se, e somente se, para todos   com   temos   Ou, em outras palavras, para todo   existe no máximo um   tal que   se relaciona com   [3] Assim sendo, escrevemos   quando   se relaciona com   por   O conjunto   é chamado de conjunto de partida e   é chamado de contradomínio da função  

Outra maneira de dizer isto é afirmar que   é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que   é unívoca, i.e. se   e   então   Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto   se relaciona com algum elemento de  

ExemplosEditar

Vejamos as seguintes relações  

  Esta não é uma função, pois o elemento   é associado (se relaciona) com dois elementos   a saber com   Esta é, entretanto, um exemplo das chamadas funções multivaloradas.
  Este é um exemplo de uma função dita parcial (função parcial), pois há pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber   que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio (conjunto  ).
  Este é um exemplo de uma função dita discreta (veja, função discreta). Sua lei de correspondência pode ser escrita da seguinte forma:

 

Exemplo de aplicaçãoEditar

Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo (modelos de crescimento demográfico). Por exemplo, denotando o tempo por   e o número de indivíduos em um dado tempo   por   escrevemos     Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como   o conjunto de partida é o conjunto dos números reais não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos números naturais (assumindo que o número de indivíduos é sempre um número inteiro não negativo).

Elementos de uma funçãoEditar

Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos     onde   é o nome da função,   é seu conjunto de partida,   é seu contradomínio e   denota sua lei de correspondência.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado domínio da função. Mais precisamente, o domínio de uma função     é o conjunto:

 
Também, geralmente, nem todos os elementos do contradomínio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam são elementos da chamada imagem da função. A imagem de uma função     é o conjunto:
 

ExemploEditar

Seja     onde o conjunto de partida é dada por   e o contradomínio por  Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso,   e   Veja a ilustração.

 
Representação em diagrama de Venn da função     A imagem de   está delineada por uma linha tracejada.

Gráfico de uma funçãoEditar

 
Esboço do gráfico de uma função arbitrária de uma variável com representação do par ordenado  
 Ver artigo principal: Gráficos de função

O gráfico de uma função     é o conjunto:

 
i.e, é o conjunto dos pares ordenados   tal que  

Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).

Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos   no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).

Classificação quando a imagemEditar

Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funções injetoras, funções sobrejetoras e funções bijetoras. Seja dada a função     Por definição,   é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos   temos   A função   é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando   Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.

Tipo de função Característica da função Conjunto imagem Explicação visual Exemplo Admite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetiva Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando    no domínio tem-se    no contradomínio. Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função. A função         dada por  , é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. Nem sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetiva Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio A função    , é sobrejetiva. Nem sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetiva São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio A função    , é bijetiva. Sim.

Funções implícitas e explicitasEditar

Dizemos que uma função   é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores   podem ser expressados pela variável independente   i.e., quando temos uma relação da forma   Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como   onde   denota uma expressão envolvendo   e   [6]

ExemploEditar

Seja   dada por   Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação   define implicitamente a função   que associa um número real não nulo   ao seu inverso. Ou seja, tal função   está, aqui, definida implicitamente por   Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função   de forma explícita, escrevendo  

Composição de funçõesEditar

 Ver artigo principal: Composição de funções

Dadas uma função     e uma função     com   definimos a função composta de   com   por     Analogamente, quando   também podemos definir a função composta de   com   dada por     [3]

ExemploEditar

Considere as seguintes funções   e   dada por:

  e  

Notamos que   e, portanto, podemos definir a função composta  por:

 
Também, como   temos a composição   dada por:

 

Outras classificaçõesEditar

HistóriaEditar

O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do Cálculo.[7][8] O termo "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em uma de suas cartas data em 1673, na qual ele descreve a declividade de uma curva em um ponto específico.[9] Na antiguidade, embora não se conhece o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como Oresme.[10]

Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por expressões analíticas.[11] Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da Análise Matemática por Weierstrass e outros, a reformulação da Geometria em termos da análise e a invenção da Teoria dos Conjuntos por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos Nikolai Lobachevsky, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Dedekind.[12][13][14]

Ver tambémEditar

Referências

  1. STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
  2. FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
  3. a b c d Iezzi, Gelson (1977). Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. pp. 73–74A, 179A–180A 
  4. STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
  5. a b FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
  6. Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics. Berlin: Springer. 120 páginas 
  7. "The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". (Ponte 1992)
  8. Kleiner, Israel (2009). «Evolution of the Function Concept: A Brief Survey». In: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson. Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History. [S.l.]: MAA. pp. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0 
  9. Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" (Eves 1990, p. 234).
  10. "...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." (Medvedev 1991)
  11. N. Bourbaki (18 de setembro de 2003). Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0 
  12. "On the vanishing of trigonometric series," 1834 (Lobachevsky 1951).
  13. Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 (Dirichlet 1889).
  14. "By a mapping φ of a set S we understand a law that assigns to each element s of S a uniquely determined object called the image of s, denoted as φ(s). Dedekind 1995

BibliografiaEditar

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
  • Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.
  • Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. vol. 1, 9. ed., Atual Editora:São Paulo. ISBN 9788535716801.

Ligações externasEditar