Raízes múltiplas

Um número $\alpha \in \mathbb {C}$ é dito raiz múltipla de um polinômio $p(x)\in R[x]$, $R\subseteq \mathbb {C}$ subanel, se $(x-\alpha )^{n}$ divide $p(x)$ para algum $n\geq 2$. Se $(x-\alpha )^{n}$ divide $p(x)$ e $(x-\alpha )^{n+1}$ não divide, então dizemos que a multiplicidade de $\alpha$ é $n\in \mathbb {N}$.

Exemplos

Polinômio	Forma Fatorada	Raízes
$x^{2}+2x+1$	$(x+1)^{2}$	-1, com multiplicidade 2
$x^{3}-5x^{2}+8x-4$	$(x-2)^{2}(x-1)$	2, com multiplicidade 2 1, com multiplicidade 1
$x^{2}+1$	$(x-i)(x+i)$	i, com multiplicidade 1 -i, com multiplicidade 1

Nos exemplos acima, é fácil identificar as raízes e as respectivas multiplicidades dos polinômios em sua forma fatorada. Além disso, podemos determinar diversas propriedades relacionadas com a multiplicidade das raízes de um polinômio. Por exemplo, um polinômio sobre $\mathbb {R}$ que tem raízes múltiplas não é irredutível.

Um polinômio que têm raiz múltipla não é separável, por definição.

Referências

Gonçalves, A. Introdução à Álgebra.