Raiz cúbica

Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número $x$ (expressa como ${\sqrt[{3}]{x}}$ ou $x^{1 \over 3}$ ), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado $x.$ Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que $3\times 3\times 3=27.$

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

{\sqrt[{3}]{8}}={\begin{cases}\ \ 2\\-1+i{\sqrt {3}}\\-1-i{\sqrt {3}}\end{cases}}

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal editar

As raízes cúbicas de um número $x$ são números $y$ que satisfazem a equação

y^{3}=x

Números reais editar

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

{\sqrt[{3}]{x}}=x^{1 \over 3}

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número 1 são:

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}\ \ 1\\-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos editar

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

x^{1 \over 3}=\exp \left({\ln {x} \over 3}\right)

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

x=r\exp(i\theta )

Onde r é um número real positivo e $\theta$ cai no intervalo:

-\pi <\theta \leq \pi ,

então a raiz cúbica é

{\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({i\theta  \over 3}\right).

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo ${\sqrt[{3}]{-8}}$ não será -2, senão $1+i{\sqrt {3}}.$ Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão editar

Procedente da seguinte identidade:

{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots ,

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
Pressiona-se o botão de multiplicação.
Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
Pressiona-se o botão de multiplicação.
Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
Pressiona-se o botão de multiplicação.
Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica editar

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica editar

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:

{\sqrt[{3}]{c}}=k.\left({29z^{3}+261z^{2}+255z+22 \over 7z^{3}+165z^{2}+324z+71}\right)

Onde:

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},

para todo k complexo diferente de "0".

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, ${\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},$ tem-se:

{c}={k^{3}.z}

Logo, ${z}={c \over k^{3}}$

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a) ${\sqrt[{3}]{61}}$

{\sqrt[{3}]{c}}

c=61

{27<61<64}

{3^{3}<61<4^{3}}

{k^{3}}=4^{3}

k=4

Como ${z}={c \over k^{3}}$ então ${z}={61 \over 64}=>z=0.953125$

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

{\sqrt[{3}]{61}}=4(0.984124295794616)

{\sqrt[{3}]{61}}=3.936497183

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x2={-x1+{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}

x3={-x1-{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}

Portanto,

{x1}=3.936497183

{x2}=-1.968248591+3.409106562i

{x3}=-1.968248591-3.409106562i

Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.

No exemplo ${\sqrt[{3}]{33.143.428}}$ podemos considerar $k=300$

O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, $3^{3}=27$

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".

Estimando o valor de "k" para Imaginários

Seja o complexo $a+bi$ então ...

1) Sobre o valor absoluto de "k":

Somar os valores absolutos de $a$ e $b,$ ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de $a$ e $b.$ ..

A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.

2) Sobre o sinal de "k":

O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo $a+bi,$ ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".