Regra dos trapézios (equações diferenciais)

Em análise numérica e computação científica, a regra dos trapézios é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária derivado da Regra dos trapézios para integrais computacionais. É um método implícito de segunda ordem como o Método de Runge-Kutta linear e iterativo.

Método

Supondo que se deseja resolver a seguinte equação diferencial

$y'=f(t,y).$

A regra dos trapézios é dada pela fórmula

$y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},$

na qual $h=t_{n+1}-t_{n}$ é o tamanho do intervalo.

Este é um método implícito, onde o valor $y_{n+1}$ aparece nos dois lados da equação e para calculá-lo deve-se resolver a equação que geralmente é não-linear. Um possível método para resolver esta equação é o Método de Newton,podendo-se usar o Método de Euler para obter uma estimativa bastante boa para a solução e que poderá ser usada como chute inicial no método de Newton.

Motivação

Integrando a equação diferencial entre $t_{n}$ e $t_{n+1}$, encontra-se

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

A regra dos trapézios para integração diz que a integral do lado direito da equação pode ser aproximada por

$\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx {\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1})){\Big )}.$

Combinando as duas fórmulas e definindo $y_{n}\approx y(t_{n})$ e $y_{n+1}\approx y(t_{n+1})$, obtém-se a regra dos trapézios para equações diferenciais ordinárias.

Análise de erro

Tem-se, da análise de erro da regra dos trapézios para quadratura, que o Erro de truncamento local $\tau _{n}$ da regra dos trapézios para equações diferenciais pode ser delimitado por

$|\tau _{n}|\leq {\tfrac {1}{12}}h^{3}\max _{t}|y''(t)|.$

Assim, a regra dos trapézios é um método de segunda-ordem. Isto pode ser usado para provar que o erro global é $O(h^{2})$ assim que o espaço entre pontos adjacentes $h$ tende a zero (veja seu significado em Grande-O)

Estabilidade

A região de estabilidade absoluta para este método é

$\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)<0\}.$

Isto inclui a metade esquerda do plano, então ele é A-estável. Que mostra que a solução numérica tende zero se e somente se a solução exata o fizer.

Bibliografia

• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, ISBN 978-0-521-55655-2, Cambridge University Press .
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, ISBN 0521007941, Cambridge University Press .