Relação de Stifel

Em matemática, a relação de Stifel[1], também conhecida como regra de Pascal[2], é uma identidade envolvendo coeficientes binomiais:

Para quaisquer naturais tais que

Demonstração algébricaEditar

Não há segredos na relação de Stifel. É possível demonstrá-la recorrendo-se apenas a definição dos símbolos  , que denotam os coeficientes binomiais, e efetuando umas poucas manipulações algébricas:

 
 
 

Contudo, mesmo sendo esta demonstração algébrica elementar, há uma outra demonstração que, do ponto de vista da elegância, é certamente mais atraente:

Demonstração combinatóriaEditar

Alternativamente a demonstração algébrica oferecida, a relação de Stifel possui uma conhecida demonstração combinatória:

Seja   um conjunto finito não-vazio com   elementos. O número de subconjuntos de   que possuem   elementos é justamente  , isto é,

 

Por outro lado, destacando um elemento  , podemos determinar o cardinal   de uma maneira alternativa, procedendo como segue:

  • Contamos o número de subconjuntos de   com   elementos que possuem  , isto é, determinamos
 
  • Contamos o número de subconjuntos de   com   elementos que não possuem  , isto é, determinamos
 
  • Somamos os dois números. Seguirá então, pelo argumento de dupla contagem, que
 

Agora, como  , segue que

 

e

 

donde ganha-se a relação.

Generalização para coeficientes multinomiaisEditar

A relação de Stiefel, que é uma afirmação sobre coeficientes binomiais, pode ser estendida para coeficientes multinomiais:

Para quaisquer naturais   tais que  ,   para cada   e  
 

No caso em que  , fazendo a identificação   temos que   implica  . Assim, usando as identificações

 

e

 

recupera-se imediatamente a relação de Stifel para coeficientes binomiais.

Demonstração: Sejam   um natural e   naturais tais que  , para cada índice  , e  . Então

 
 
 
 

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. em referência a Michael Stifel (1487 — 1567), matemático alemão
  2. em referência a Blaise Pascal (1623 — 1662), matemático francês

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar