Sequência dupla

Seja uma função $f:\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, ou seja, uma função cujo domínio são os pares $(m,n)$, com $m,n\in \mathbb {N}$. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos $a_{m,n}$, conforme ilustrado abaixo

$a_{1,1}$	$a_{1,2}$	$a_{1,3}$	$a_{1,4}$	$\cdots$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$	$a_{2,3}$	$a_{2,4}$	$\cdots$
$a_{3,1}$	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$	$a_{3,4}$	$\cdots$
$a_{4,1}$	$a_{4,2}$	$a_{4,3}$	$a_{4,4}$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Denotamos por $\{a_{m,n}\}$ a sequência dupla dessa função.

O valor do termo $a_{m,n}$ dessa sequência, correspondente à posição $(m,n)$, é chamado de $(m,n)-{\acute {e}}simo$ termo da sequência dupla. É fácil notar que, como a sequência é definida em $\mathbb {N} ^{2}$, $(m_{1},n_{1})\leq (m_{2},n_{2})\Leftrightarrow m_{1}\leq m_{2}$ e $n_{1}\leq n_{2}$.

Convergência

Dizemos que uma sequência dupla é convergente se $\exists a\in \mathbb {R} ,\forall \varepsilon >0,\exists (m_{0},n_{0})\in \mathbb {N} ^{2}:\left\vert a_{m,n}-a\right\vert <\varepsilon ,\forall (m,n)\geq (m_{0},n_{0})$.

Assim, $\{a_{m,n}\}$ é convergente se $a_{m,n}\rightarrow a$. Como $a$ é único, ele é chamado de limite duplo de $\{a_{m,n}\}$ e é denotado por ${\underset {(m,n)\rightarrow (\infty ,\infty )}{\lim }}a_{m,n}$.

Teorema do limite em sequências duplas

Tome $a_{m,n}\rightarrow a,b_{m,n}\rightarrow b$, isso implica

(1) $a_{m,n}+b_{m,n}\rightarrow a+b$

(2) $ra_{m,n}\rightarrow ra,\forall r\in \mathbb {R}$

(3) $a_{m,n}b_{m,n}\rightarrow ab$

(4) seja $a\neq 0$, $\exists (m_{0},n_{0})\in \mathbb {N} ^{2}:a_{m,n}\neq 0,\forall (m,n)\geq (m_{0},n_{0})$ e ${\frac {1}{a_{m,n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}$

Critério de Cauchy para convergência

Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.

DEMONSTRAÇÃO

$(\Rightarrow )$ Imediato. $(\Leftarrow )$ Seja $\{a_{m,n}\}$ uma sequência dupla de Cauchy, tome as sequências diagonais $b_{n}:a_{n,n}$, para $n\in \mathbb {N}$. Oras, $b_{n}$ é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então, do Critério de Cauchy de uma variável. Seja $b_{n}\rightarrow b$ e $\varepsilon >0$ dado,$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\left\vert b_{n}-b\right\vert <\varepsilon ,\forall n\geq n_{0}.$ Como $\{a_{m,n}\}$ é Cauchy, $\exists n_{1}\in \mathbb {N} :n_{1}\geq n_{0}$ e $\left\vert a_{m,n}-a_{p,q}\right\vert <\varepsilon ,\forall (m,n),(p,q)\geq (n_{1},n_{1}).$ Pela desigualdade triangular $\left\vert a_{m,n}-b\right\vert \leq \left\vert a_{m,n}-a_{n_{1},n_{1}}\right\vert +\left\vert b_{n_{1}}-b\right\vert <2\varepsilon$. Logo, $a_{m,n}$ converge para $b$.

Teorema da troca de limites

Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites iterados, então esses limites têm que ser iguais.

DEMONSTRAÇÃO

Como o limite duplo existe, dado $\varepsilon >0$,$\exists n_{0}:m,n\geq n_{0}\Rightarrow \left\vert a_{m,n}-a\right\vert <\varepsilon$. Segue que, se ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}$ existe e ${\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}=b_{m}$, podemos levar $n\rightarrow \infty$ em $\left\vert a_{m,n}-a\right\vert <\varepsilon$ para obter $\left\vert b_{m}-a\right\vert <\varepsilon$, se $n\geq n_{0}$, de modo que $b_{m}\rightarrow a$, cqd.