Limites iterados

Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right).$

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)$, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$.

Essa definição difere da expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável $f(x,y)$ se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos $(x,y)$ do ponto $(a,b)$. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.

Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral

${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$.

Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y).$

Exemplos

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.

Sejam as funções abaixo definidas de forma que, $f,g,h:A\times B=(0,+\infty )\times (0,+\infty )\rightarrow \Re$,

(1) $f(x,y)={\dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}$

Temos ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=y-1$ e ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=x+1$, de onde segue

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=-1$ e ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=1$, ou seja

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)$.

.

(2) $g(x,y)={\dfrac {x\sin {\frac {1}{x}}+y}{x+y}}$

${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=1$, de onde ${\underset {y\rightarrow 0\%}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)=1$.

Mas, ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)=\sin {\frac {1}{x}}$ e, portanto, $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)$.

.

(3) $h(x,y)=x\sin {\frac {1}{y}}$, $0\leq \left\vert x\sin {\frac {1}{y}}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert$

Temos ${\underset {(x,y)\rightarrow (0,0)}{\lim }}h(x,y)={\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}h(x,y)\right)=0$, mas $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}y(x,y)\right)$.

Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,

(4) $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},$

Oras, $\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0$, logo $\lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=\lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=0$

Mas o limite duplo em torno do caminho $y=x$ é dado por,

$\lim _{{\Big (}(x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

Troca da ordem dos operadores de limite

Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.

Proposição

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função de um subconjunto $A\times B\subset M_{1}\times M_{2}$ em $M$ e $(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$, onde $M_{1},M_{2},M$ são espaços métricos. Se

(i) $\exists {\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$

(ii) para cada $y\in B,\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$

então $\exists {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha$.

DEMONSTRAÇÃO

Como $\exists {\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$, então, da definição, $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall (x,y)\in A\times B$, $(x,y)\in B_{\delta }(a)\times B_{\delta }(b)\backslash \{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x,y),\alpha )=\left\vert f(x,y)-\alpha \right\vert <{\frac {\varepsilon }{2}}$. Usando o fato de que $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$ e a continuidade da função norma, então $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}d(f(x,y),\alpha )=d(g(y),\alpha )\leq {\frac {\varepsilon }{2}}$. Segue que $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall y\in B,y\in B_{\delta }(b)\backslash \{b\}\Rightarrow d(g(y),\alpha )<\varepsilon$, de modo que ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha$.

Teorema do intercâmbio de limites

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função em um espaço métrico completo, onde $A$ e $B$ são subconjuntos dos espaços métricos $M_{1}$ e $M_{2}$, respectivamente, e seja $a\in A^{\prime }\backslash A,b\in B^{\prime }\backslash B$. Se

(i) $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$,$\forall y\in B$

(ii) ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)=h(x)$ existe uniformemente em $x\in A$

então os três limites ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}{\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y),$ ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}{\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y),{\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)$ existem e são iguais.

DEMONSTRAÇÃO

Seja $\varepsilon >0$ arbitrário. De (ii) temos, pela definição (1) $\exists \delta >0,\forall y\in B:0<d_{2}(y,b)<\delta \Rightarrow \forall x\in A:d(f(x,y),h(x))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$ Seja $y^{\ast }\in B_{\delta }(b)\backslash \{b\}$, usando (i), segue (2) $\exists \delta ^{\ast }>0,\forall x\in A:0<d_{1}(x,a)<\delta ^{\ast }\Rightarrow d(f(x,y^{\ast }),g(y^{\ast }))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$ Seja a vizinhança do ponto $(a,b)$ dada na forma $V=B_{\delta ^{\ast }}(a)\times B_{\delta }(b)$ e sejam os pontos $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}.$ Da desigualdade triangular segue $d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))\leq d(f(x_{1},y_{1}),h(x_{1}))+d(h(x_{1}),f(x_{1},y^{\ast }))+$$d(f(x_{1},y^{\ast }),g(y^{\ast }))+d(g(y^{\ast }),f(x_{2},y^{\ast }))+d(f(x_{2},y^{\ast }),h(x_{2}))+d(h(x_{2}),f(x_{2},y_{2}))$ Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que ${\frac {\varepsilon }{6}}.$ Decorre disso que $\forall (x_{1},y_{1})\in A\times B,\forall (x_{2},y_{2})\in A\times B:$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))<\varepsilon .$ Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto $(a,b)$ e, como $M$ é um espaço métrico completo, existe ${\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$. Da proposição anterior, junto com (i), segue ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha ={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y))$ e, com (ii) que ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}h(x)=\alpha ={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y))$ . O que conclui a demonstração.