Soma de Cesàro

Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

DefiniçãoEditar

Seja   uma seqüência, e seja

 

onde   é a k-ésima soma parcial da série

 .

A seqüência   é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro igual a  , se

 .

ExemplosEditar

Seja   para  . Isto é,   é a seqüência

 .

Então a seqüência das somas parciais   é

 ,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência   são

 ,

e daí

 .

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia   é  .

GeneralizaçõesEditar

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas   para inteiros não negativos  . O método   é apenas uma somatória ordinária, e   é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritos como segue: dada uma série  , definem-se as quantidades

 

e define-se Enα como sendo Anα para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma   de   é

 

se ela existir.[1]

Notas

  1. Shawyer and Watson pp.16-17

ReferênciasEditar

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. [S.l.]: Oscford UP. ISBN 0-19-853585-6