O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana , que pode ser formulado da seguinte maneira:
Figura geométrica semelhante a uma borboleta . Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo , através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY .[ 1]
Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:
Sejam as perpendiculares
X
X
′
{\displaystyle XX'\,}
X
X
″
{\displaystyle XX''\,}
X
{\displaystyle X\,}
A
M
{\displaystyle AM\,}
D
M
{\displaystyle DM\,}
Y
Y
′
{\displaystyle YY'\,}
Y
Y
″
{\displaystyle YY''\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
B
M
{\displaystyle BM\,}
C
M
{\displaystyle CM\,}
Temos que a resposta do sd6 está aqui.
△
M
X
X
′
∼
△
M
Y
Y
″
⟹
M
X
M
Y
=
X
X
′
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY''\Longrightarrow {MX \over MY}={XX' \over YY''},\,}
△
M
X
X
″
∼
△
M
Y
Y
′
⟹
M
X
M
Y
=
X
X
″
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'\Longrightarrow {MX \over MY}={XX'' \over YY'},\,}
△
A
X
X
′
∼
△
C
Y
Y
′
⟹
X
X
′
Y
Y
′
=
A
X
C
Y
,
{\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'\Longrightarrow {XX' \over YY'}={AX \over CY},\,}
△
D
X
X
″
∼
△
B
Y
Y
″
⟹
X
X
″
Y
Y
″
=
D
X
B
Y
,
{\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY''\Longrightarrow {XX'' \over YY''}={DX \over BY},\,}
Das equações anteriores, fica fácil visualizar que
(
M
X
M
Y
)
2
=
X
X
′
Y
Y
″
X
X
″
Y
Y
′
,
{\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY''}{XX'' \over YY'},}
=
A
X
.
D
X
C
Y
.
B
Y
,
{\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}
=
P
X
.
Q
X
P
Y
.
Q
Y
,
{\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}
=
(
P
M
−
X
M
)
.
(
M
Q
+
X
M
)
(
P
M
+
M
Y
)
.
(
Q
M
−
M
Y
)
,
{\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
,
{\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}
uma vez que
P
M
{\displaystyle PM\,}
M
Q
{\displaystyle MQ\,}
Agora,
(
M
X
)
2
(
M
Y
)
2
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
.
{\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}
Portanto, conclui-se que
M
X
=
M
Y
,
{\displaystyle MX=MY,\,}
M
{\displaystyle M\,}
X
Y
.
{\displaystyle XY.\,}
Referências Ligações externas
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