Teorema de Erdős–Fuchs

Em matemática, na área de teoria aditiva dos números, o Teorema de Erdős–Fuchs é um teorema sobre o número de formas que um número pode ser representado como a soma de dois elementos de um determinado conjunto, afirmando que a ordem média desse número não pode ser muito próximo de uma função linear.

O nome deste teorema vem de Paul Erdős e Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs, que publicaram sua prova em 1956.

EnunciadoEditar

Seja   um conjunto infinito de números naturais, e escreva   para sua função de representação, que denota o número de formas de escrever num número natural   como a soma de   elementos de   (levando ordem em consideração). Consideramos então a função de representação acumulada

 
que conta (também levando ordem em consideração) o número de soluções para  , onde  . O teorema então diz que, para qualquer  , a relação
 
não pode ser satisfeita; isto é, nenhum   satisfaz a estimativa acima.

Teoremas do tipo de Erdős–FuchsEditar

O teorema de Erdős–Fuchs possui uma história interessante de precedentes e generalizações. Em 1915, G. H. Hardy[1] já sabia que no caso da sequência   dos quadrados perfeitos tem-se

 
Esta estimativa é um pouco melhor do que a descrita por Erdős–Fuchs, contudo, pelo preço de uma pequena perda de precisão, P. Erdős e W. H. J. Fuchs atingiram completa generalidade em seu resultado (pelo menos para o caso  ). Outra razão pela qual este resultado é tão célebre pode ser devido ao fato de que, em 1941, P. Erdős e P. Turán[2] conjecturaram que, sujeito às mesmas hipóteses que as do teorema enunciado, a relação
 
não poderia ser válida. Este fato manteve-se sem demonstração até 1956, quando Erdős e Fuchs obtiveram seu teorema, que é ainda mais forte que as estimativas previamente conjecturadas.

Versões melhoradas para h = 2Editar

Este teorema foi estendido em diversas direções diferentes. Em 1980, A. Sárközy[3] considerou duas sequências que estão "perto" em algum sentido. Ele provou o seguinte:

  • Teorema (Sárközy, 1980). Se   e   são dois subconjuntos infinitos dos números naturais com  , então   nunca é válido, para nenhuma constante  .

Em 1990, H. L. Montgomery e R. C. Vaughan[4] conseguiram remover o termo com log do lado direito do enunciado original de Erdős–Fuchs, mostrando que

 
nunca é válido. Em 2004, G. Horváth[5] estendeu ambos estes resultados, provando o seguinte:
  • Teorema (Horváth, 2004). Se   e   são subconjuntos infinitos dos números naturais com   e  , então   nunca é válido, para nenhuma constante  .

Caso geral (h ≥ 2)Editar

A generalização natural do Teorema de Erdős–Fuchs, para  , é sabida ser válida, e também com a mesma força da versão de Montgomery–Vaughan. Com efeito, M. Tang[6] mostrou em 2009 que, nas condições do teorema original de Erdős–Fuchs, para todo   a relação

 
nunca é válida. Em outra direção, em 2002, G. Horváth[7] deu uma generalização precisa para o resultado de 1980 de Sárközy, mostrando que
  • Teorema (Horváth, 2002) Se   ( ) são  (pelo menos dois) subconjuntos infinitos dos números naturais satisfazendo as seguintes estimativas:
  1.  
  2.   (for  )
então a relação:
 
nunca é válida, para nenhuma constante  .

Aproximações não-linearesEditar

Ainda outra direção na qual o teorema de Erdős–Fuchs pode ser melhorado é considerando aproximações para   diferentes de   para algum  . Em 1963, P. T. Bateman, E. E. Kohlbecker and J. P. Tull[8] mostraram uma versão um pouco mais forte do seguinte:

  • Teorema (Bateman–Kohlbecker–Tull, 1963). Seja   uma função de variação lenta que é ou convexa ou côncava de certo ponto em diante. Então, nas condições do teorema original de Erdős–Fuchs, a estimativa   nunca é válida, onde   se   é limitada, e   caso contrário.

No final do artigo em questão, é observado que é possível estender o método usado para provar o teorema acima no sentido de obter resultados considerando   com  , mas tais resultados são considerados pouco definitivos.

Ver tambémEditar

  • Teorema de Erdős–Tetali: Para todo  , existe um conjunto   satisfazendo  . (Existência de bases econômicas)
  • Conjectura de Erdős–Turán para bases aditivas: Se   é uma base aditiva de ordem 2, então  . (Bases não podem ser muito econômicas)

ReferênciasEditar

  • Hardy, G. H. (1915). «On the expression of a number as the sum of two squares». Quart. J. Math. 46: 263–83 
  • Erdős, P.; Turán, P. (1941). «On a problem of Sidon in additive number theory, and some related problems». J. London Math. Soc. 16: 212–5 
  • Sárközy, A. (1980). «On a theorem of Erdős and Fuchs». Acta Arith. 37: 333–338 
  • Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1990). «On the Erdős–Fuchs theorem». Cambridge Univ. Press. A tribute to Paul Erdős: 331–338 
  • Horváth, G. (2004). «An improvement of an extension of a theorem of Erdős and Fuchs». Acta Math. Hung. 104: 27–37 
  • Tang, Min (2009). «On a generalization of a theorem of Erdős and Fuchs». Discrete Math. 309: 6288–6293 
  • Horváth, G. (2002). «On a theorem of Erdős and Fuchs». Acta Arith. 103 (4): 321–328 
  • Bateman, P. T.; Kohlbecker, E. E.; Tull, J. P. (1963). «On a theorem of Erdős and Fuchs in additive number theory». Proc. Am. Math. Soc. 14: 278–84