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Gráfico de uma função convexa

Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:

for um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:

Ou seja, uma função é convexa se a imagem pela função de qualquer combinação convexa entre dois pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à combinação convexa das imagens desses pontos. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:

Definição formalEditar

Seja  , definida no conjunto convexo  . Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante  . Então:

 
A function that is not quasiconvex: the set of points in the domain of the function for which the function values are below the dashed red line is the union of the two red intervals, which is not a convex set.
A função será... Se e somente se... Exemplo visual
Convexa  
 
Uma função (em preto) é convexa se e apenas se a região acima dela (em verde) é um conjunto convexo
Estritamente convexa Exemplo
Côncava  [1]
 
O gráfico de uma função que é, ao mesmo tempo, côncava e quasiconvexa com os números reais não-negativos.
Estritamente côncava (e portanto também côncava)  [1]
Quasicôncava   [2]
 
A função densidade de probabilidade da distribuição normal é quasicôncava, mas não côncava
Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava)  ,   e   implicarem necessariamente que   [2]
Quasiconvexa   [2]
 
Uma função quasiconvexa que não é convexa
 
Uma função quasilinear é tanto quasiconvexa quanto quasicôncava.

Propriedades das funções convexasEditar

ExemplosEditar

  • A função   é convexa.
  • A função   é convexa.
  • O valor absoluto é uma função convexa  

ExtensõesEditar

Seja   um espaço vetorial e   um conjunto convexo contido em  , então um função   é dita convexa se:

  para todo   em [0,1].

E estritamente convexa se:

  para todo   em (0,1) e  .

ExemplosEditar

AplicaçõesEditar

  • Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young.
  • A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 930.
  2. a b c <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 933.