Teorema de Papo

O teorema de Papo,[1] mais conhecido como teorema de Pappus,[2] atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos:

Teorema de Papo:
Dado um hexágono XbCYcB, cujos lados são formados pelas retas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA, se as retas Xb, BC e cY são concorrentes e se BX, cb e YC são concorrentes, então as retas Bc, XY e bC serão também concorrentes

Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas
Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.

A dualidade desse teorema afirma que:

Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (Ab, aB), (Ac , aC) e (Bc, bC) são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Afirmação e prova do teorema de PapoEditar

 
Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Papo

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

 

e se

 

então

 

ProvaEditar

Sendo

 
 
 

Nós temos que demonstrar que se   = 0 e   = 0, então   = 0.

Passo 1Editar

Utilizando a identidade

 

podemos expressar  ,  , e   na seguinte forma equivalente:

 
 
 

Passo 2Editar

Aplicando as propriedades

 
 

obtemos

 
 
 

e então

 
 
 

Passo 3Editar

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

 
 
 

Passo 4Editar

Com as identidades

 
 

Podemos permutar os termos como segue:

 
 
 

Passo 5Editar

Agora podemos somar as equações para obter:

 
 

de onde segue que se   = 0 e   = 0, então   = 0.

Referências