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Polígono

figura plana limitada por uma sequência de segmentos que formam um loop
(Redirecionado de Hexágono)
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Um polígono.

Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos.[1] A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[2]

Definição

 
Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal

 
Linha poligonal aberta não-simples

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal   corresponde a reunião dos segmentos     ...,  [3][4]

Classificação

Uma linha poligonal   é classificada em:

  • aberta - quando os extremos   e   não coincidem;
  • fechada - quando os extremos   e   coincidem;
  • simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
  • não-simples - quando não é simples.

Polígono

 
Um polígono   As linhas tracejadas indicam os vários segmentos que o polígono pode ter.

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono   corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos     ...,   e   [5]

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.[5]

Elementos

Um polígono   possui os seguintes elementos:[5]

  • vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos       ...,  
  • lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos     ...,   e  
  • diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
  • ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos     ...,  
  • ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.

Exemplo

O polígono   na figura ao lado possui:

  • vértices          
  • lados         e  
  • ângulos internos          
  • diagonais         e  
  • ângulos externos         e  

Perímetro e Área

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação

 
Diferentes tipos de polígonos

Quanto à linha poligonal

Um polígono   pode ser classificado em simples, quando sua linha poligonal associada é simples, ou não-simples (ou complexo), quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).[5]

Quanto à região poligonal

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono que não é convexo é dito ser côncavo.[5] Polígonos estrelados são polígonos complexos cujas intersecções de segmentos são equidistantes entre si.[6]

Quanto à congruência

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de   lados é chamado de  -látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:[5]

Nomes dos polígonos
Lados Nome Lados Nome Lados Nome
1 não existe 11 undecágono ... ...
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo ou trilátero 13 tridecágono 30 triacontágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:[7]

Dezenas e Unidades sufixo
-cai- 1 -ena- -gono
20 icosi- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 eneaconta- 9 -enea-
Exemplo 1

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -cai- -di- -gono tetracontacaidígono
Exemplo 2

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontágono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como o miriágono (10.000 lados).[8]

Propriedades

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono.[5] Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais

  • De cada vértice de um polígono de   lados, saem   diagonais. Com efeito, um polígono de   lados tem   vértices. De um dado vértice formamos   segmentos de reta com cada um dos outros   vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem   diagonais.
  • O número de diagonais   de um polígono  -látero é:
     
    Com efeito, a combinação de seus   vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número,   são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.:
     
  • Em um polígono convexo de   lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por   De fato,   diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono,   triângulos.

Ângulos

  • A soma das medidas dos ângulos internos   de um polígono convexo de   lados é dada por:
     
    Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam   triângulos. Observamos que   é igual a soma dos ângulos internos destes   triângulos, i.e.  
  • A soma das medidas dos ângulos externos   de um polígono convexo de   lados é igual a   Com efeito, sejam   e   os respectivos ângulos interno e externo do  -ésimo vértice de um polígono  -látero. Por definição, temos   para todo   Daí, segue que:
     
    donde, vemos que  
  • A medida do ângulo interno   de um polígono regular de   lados é dada por:
     
  • A medida do ângulo externo   de um polígono regular de   lados é dada por:
     
  • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de   lados ( ) é igual a  
  • A medida do ângulo central de um polígono regular de   lados ( ) é dada por:
     

Mitologia

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.[9]

Ver também

Referências

  1. «Dicionário Priberam da Língua Portuguesa: polígono». Priberam Informática. Consultado em 3 de dezembro de 2014 
  2. Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
  3. Romirys Cavalcante. «O que é uma linha poligonal?». Consultado em 26 de março de 2019 
  4. Victor G. Ganzha, Evgenii V. Vorozhtsov. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118030851 
  5. a b c d e f g Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863 
  6. David Terr, Eric W. Weisstein. «Concave Polygon». MathWorld - A Wolfram Web Resource. Consultado em 26 de março de 2019 
  7. R. S. Schaeffer. «Naming Polygons». Kutztown University. Consultado em 26 de março de 2019 
  8. http://mathworld.wolfram.com/Myriagon.html
  9. Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]

Ligações externas

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