Teorema do confronto

teorema relativo ao limite de uma função

Em cálculo, o Teorema do Confronto, também conhecido como o teorema do sanduíche, a regra do sanduíche, é um teorema relativo ao limite de uma função. Na Itália, o teorema é também conhecido como o Teorema de Carabinieri.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados. Foi inicialmente utilizado geometricamente pelos matemáticos Arquimedes e Eudoxo num esforço para calcular π, e foi formulado em termos modernos por Carl Friedrich Gauss.

Em muitas línguas (por exemplo, francês, alemão, italiano, húngaro e russo), o teorema do aperto é também conhecido como o teorema dos dois polícias (e um bêbado), ou alguma variação do mesmo. Nessa história dois polícias estão escoltando um bêbado, não importa o quanto ele cambaleie entre eles, ou que caminho tomam, se forem capazes de o manter entre eles, e os dois polícias estiverem para a mesma cela, o bêbado também irá para essa mesma cela.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)Editar

Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:

Então, resulta destas condições que:

Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)Editar

Sejam , e sucessões de números reais tais que:

Então, resulta destas condições que:

Para finito, a sucessão diz-se convergente (para ).

Exemplo (com )Editar

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).

Repare que a função está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

e que

  • ,

Conclui-se que o comportamento de à medida que traduz-se analiticamente por:

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável (nesse caso, ).

ReferênciasEditar