Teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho realizado sobre um corpo de massa por uma força é igual à variação da energia cinética desse corpo:

Nessa expressão, é a diferença entre a energia cinética final, , e a energia cinética inicial, , do corpo:

.[1]

Portanto:

Caso particular: força constanteEditar

Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento,  , é zero,  , e que o instante final, é  .

  • Definição de velocidade linear,  :

 

onde,   é a posição do corpo em função do tempo,  .

  • Partindo da definição de aceleração linear,  ,

 ,

temos que

 ,

com  . Integrando ambos os lados da equação:

 

 

 

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

 

  • Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

  :

 

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

 

 

  • Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

 

 

 

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

 

 

 

  • Escrevendo o deslocamento   como  

 

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa,  , do corpo:

 

  • Pela segunda lei de Newton,  , donde

 

  • Mas,   é o trabalho mecânico,  ,

realizado pela força constante,  , sobre a massa   para deslocá-la por  :

 

logo,

 

 , como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

 

temos que

 

Fazendo  , temos finalmente

 

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Caso geral: força variávelEditar

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força   que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo,  . Neste caso, partimos da definição de trabalho,

 

onde,   é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

 

e a definição de aceleração,  ,

 

 

cuja solução é

 

Introduzindo a definição de energia cinética,

 

 

conforme o teorema.

Referências

  1. YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. (2016). Física: mecânica. 1 14 ed. São Paulo: Pearson. p. 196-202. ISBN 978-85-430-0568-3