Teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual o trabalho $W$ realizado sobre um corpo de massa $m$ por uma força $F$ é igual à variação da energia cinética desse corpo:

$W=\Delta K$

Nessa expressão, $\Delta K$ é a diferença entre a energia cinética final, $K_{f}$, e a energia cinética inicial, $K_{i}$, do corpo:

$\Delta K=K_{f}-K_{i}$.

Portanto:

$W=K_{f}-K_{i}$

Caso particular: força constante

Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, $t_{i}$, é zero, $t_{i}=0$, e que o instante final, é $t_{f}=t$.

• Definição de velocidade linear, $v$:

$v\equiv {\frac {dx}{dt}}$

onde, $x=x(t)$ é a posição do corpo em função do tempo, $t$.

• Partindo da definição de aceleração linear, $a$,

$a\equiv {\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$,

temos que

$dv=a\,dt$,

com $a=constante$. Integrando ambos os lados da equação:

$\int dv=\int a\,dt$

$v_{f}-v_{i}=a\,(t-0)$

$v_{f}-v_{i}=a\,t$

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

$t={\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}$

• Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ :

$x_{f}=x_{i}+v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

Aplicando o discriminante da equação quadrática para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

$t={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-4\,{\frac {1}{2}}\,a(x_{i}-x_{f})}}}{2\,{\frac {1}{2}}\,a}}$

$t={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-2\,a(x_{i}-x_{f})}}}{a}}$

• Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

${\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-2\,a(x_{i}-x_{f})}}}{a}}$

$v_{f}-v_{i}=-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})}}$

$v_{f}=\pm {\sqrt {v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})}}$

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})$

$v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2\,a(x_{f}-x_{i})$

${\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2}}=a\,(x_{f}-x_{i})$

• Escrevendo o deslocamento $x_{f}-x_{i}$ como $\Delta x=(x_{f}-x_{i})$

${\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2}}=a\,\Delta x$

• Introduzindo conceitos da dinâmica.

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, $m$, do corpo:

${\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=m\,a\,\Delta x$

• Pela segunda lei de Newton, $F=m\,a$, donde

${\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=F\,\Delta x$

• Mas, $F\Delta x$ é o trabalho mecânico, $W$,

realizado pela força constante, $F$, sobre a massa $m$ para deslocá-la por $\Delta x$:

$W=F\,\Delta x$

logo,

${\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=W$

• Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,

$K$, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

$K\equiv {\frac {1}{2}}m\,v^{2}$

temos que

$K_{f}-K_{i}=W$

Fazendo $\Delta K\equiv K_{f}-K_{i}$, temos finalmente

$W=\Delta K$

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Caso geral: força variável

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força $F$ que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, ${\vec {F}}={\vec {F}}(t)$. Neste caso, partimos da definição de trabalho,

$W\equiv \int \ {\vec {F}}\,d{\vec {r}}$

onde, ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$ é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

$W=\int m\,{\vec {a}}\,d{\vec {r}}$

e a definição de aceleração, ${\vec {a}}$,

$W=\int m\,{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\,d{\vec {r}}=\int m\,{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\,d{\vec {v}}$

$W=\int m\,{\vec {v}}d{\vec {v}}$

cuja solução é

$W={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}$

Introduzindo a definição de energia cinética,

$K\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}$

$W=\Delta K$

conforme o teorema.