Teorema dos eixos perpendiculares

Em física, o teorema dos eixos perpendiculares (ou teorema da figura plana) pode ser usado para determinar o momento de inércia de um objeto rígido que se situa inteiramente num plano, sobre um eixo perpendicular ao plano, tendo em conta os momentos de inércia do objeto sobre dois eixos perpendiculares situados no plano. Os eixos devem todos passar por um único ponto no plano.

Placa Fina 01

Definidos os eixos perpendiculares X, Y, e Z (os quais se encontram na origem O) então o corpo situa-se no plano XY, e o eixo Z é perpendicular ao plano do corpo. Estabelecendo-se que

• I_X ser o momento de inércia sobre o eixo X;
• I_Y ser o momento de inércia sobre o eixo Y; e
• I_Z ser o momento de inércia sobre o eixo Z.

O teorema dos eixos perpendiculares estabelece que

$\ I_{Z}=I_{X}+I_{Y}$

Esta regra pode ser aplicada com o teorema dos eixos paralelos e a regra do estiramento para encontrar o momento de inércia de uma variedade de formas.

Prova

Considere p como uma lâmina plana fina e uniforme. Considere $m_{i}$ sendo um elemento de massa com distância perpendicular $r_{i}$ de um eixo OZ perpendicular ao plano e passando através de um ponto O no plano.

Considere OX e OY sendo dois eixos perpendiculares sobre o plano. Considere $a_{i}$ sendo a distância perpendicular de $m_{i}$ de OX e $b_{i}$ sendo a distância perpendicular de $m_{i}$ a OY, ambas no plano. Sendo

$I_{x}=\sum {m_{i}{a_{i}}^{2}}$

o momento de inércia de p sobre OX e

$I_{y}=\sum {m_{i}{b_{i}}^{2}}$

sendo o o momento de inércia de p sobre OY.

O momento de inércia de p sobre OZ é dado por

${\begin{aligned}I_{z}&=\sum {m_{i}{r_{i}}^{2}}\\&=\sum {m_{i}\left({a_{i}}^{2}+{b_{i}}^{2}\right)}\qquad {\text{pelo teorema de Pitagoras}}\\&=\sum {m_{i}{a_{i}}^{2}}+\sum {m_{i}{b_{i}}^{2}}\\&=I_{x}+I_{y}\end{aligned}}$

Ver também

• Teorema dos eixos paralelos
• Regra do estiramento