Teste da série alternada

Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

• $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\,$, onde $a_{n}\geq 0$

O teste diz que a série é convergente se:

• $|a_{n+1}|\leq |a_{n}|$ (os termos da sucessão $a_{n}$ é monotonamente decrescente)
• $a_{n}\to 0,~~n\to \infty$ (O limite do termo geral da sucessão $a_{n}$ for 0).

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

Demonstração

Defina as somas parciais $S_{N}$ da seguinte forma:

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}a_{n}\,$

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

$S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1)^{n}a_{n}=\left(a_{2}-a_{1}\right)+\left(a_{4}-a_{3}\right)+\ldots +\left(a_{2N}-a_{2N-1}\right)\,$

$S_{2N+1}=\sum _{n=1}^{2N+1}(-1)^{n}a_{n}=-a_{1}+\left(a_{2}-a_{3}\right)+\left(a_{4}-a_{5}\right)+\ldots +\left(a_{2N}-a_{2N+1}\right)\,$

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em $S_{2N}$ e maior ou igual a zero em $S_{2N+1}$, assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

$S_{2N+1}-S_{2N}=(-1)^{2N+1}a_{2N+1}=-a_{2N+1}\leq 0\,$

Portanto $S_{2N+1}\leq S_{2N}\,$ Da monotonicidade podemos acrescentar:

$S_{2k+1}\leq S_{2N+1}\leq S_{2N}\leq S_{2k},~~k<N\,$

Agora considere o limite $N\to \infty$:

• A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite $L_{0}$.
• A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite $L_{1}$.

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

$S_{2k+1}\leq L_{1}\leq L_{0}\leq S_{2k},\,$

Para provar que a série converge, reste mostrar que $L_{0}=L_{1}$, para tal faça:

$|L_{0}-L_{1}|=L_{0}-L_{1}\leq S_{2k}-S_{2k+1}=a_{2k+1}\to 0,k\to \infty$

Denotando este limite por $L=L_{0}=L_{1}$, temos:

$S_{2k+1}\leq L\leq S_{2k},\,$ o que é equivalente a:

$\left\{{\begin{array}{lcccl}S_{2k+1}-S_{2k}&\leq &L-S_{2k}&\leq &0\\0&\leq &L-S_{2k+1}&\leq &S_{2k}-S_{2k+1}\end{array}}\right.\,$,

De onde se pode concluir a estimativa:

$\left|S_{n}-L\right|\leq a_{n},~~\forall n>0$

Exemplo: Teste a convergência da série $\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)$

Pelo critério de Liebniz, a série tem que satisfazer as duas condições para convergir.

$|a_{n+1}|\leq |a_{n}|$, para todo n>N e $a_{n}\to 0,~~n\to \infty$, O limite do termo geral da sucessão $a_{n}$ for 0.

Assim,

$\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)$

$\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=sen\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\right)$

$\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=sen0=0$

Logo $\lim(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=0$.

Para a condição $|a_{n+1}|\leq |a_{n}|$, resolve-se por comparação:

$n<n+1$

$\left({\frac {1}{n}}\right)>\left({\frac {1}{n+1}}\right)$

$sen\left({\frac {1}{n}}\right)>sen\left({\frac {1}{n+1}}\right)$

$a_{n}>a_{n+1}$,portanto a série é decrescente.

E desta forma $\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)$converge.

Convergência condicional e absoluta

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$

que converge por esse teste, mas:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1^{n}}{n}}=\infty$

O teste da serie alternada, consiste em um caso particular do criterio de Dirichlet onde bk = (-1)^n