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Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

  • , onde

O teste diz que a série é convergente se:

  • (os termos da sucessão é monotonamente decrescente)
  • (O limite do termo geral da sucessão for 0).

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

DemonstraçãoEditar

Defina as somas parciais   da seguinte forma:

 

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

 
 

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em   e maior ou igual a zero em  , assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

 

Portanto   Da monotonicidade podemos acrescentar:

 

Agora considere o limite  :

  • A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite  .
  • A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite  .

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

 

Para provar que a série converge, reste mostrar que  , para tal faça:

 

Denotando este limite por  , temos:

  o que é equivalente a:
 ,

De onde se pode concluir a estimativa:

 
Exemplo: Teste a convergência da série  
Pelo critério de Liebniz, a série tem que satisfazer as duas condições para convergir.
 , para todo n>N e  , O limite do termo geral da sucessão   for 0.
Assim,
 
 
 
Logo  .
Para a condição  , resolve-se por comparação:
 
 
 
 ,portanto a série é decrescente.
E desta forma  converge.

Convergência condicional e absolutaEditar

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

 

que converge por esse teste, mas:

 
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