Teste de Abel

Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

onde as duas propriedades são verificadas:

  • converge
  • {bn} é monótona e

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

e onde também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então:

Somando em ambos os lados:

onde converge, pelo Critério de Dirichlet e converge, pela hipótese,

Logo, também converge.

ExemplosEditar

1) A série   é convergente. Neste caso, defina:

 

e

 

A série   é convergente pelo teste da série alternada e a sequência   é monótona, decrescente e converge para  .

2) A série   é também convergente; é tal como em 1), sendo que   é crescente, convergindo para  .

- Note-se que a natureza de 2) não pode ser justificada pelo teste da série alternada, ao contrário da série do exemplo 1);

de facto,   e, atendendo a que   é monótona decrescente, podemos concluir que   também é decrescente, sendo de termos positivos e convergindo para zero.

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