Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma função de uma variável e suas derivadas ... Equações diferenciais são geralmente complementadas com condições iniciais e são assim chamada problemas de valor inicial. A transformada de Laplace fornece uma metodologia para resolver e analisar problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias. O método consiste em utilizar a transformada de Laplace para converter a equação diferencial em um problema de menor complexidade, através das propriedades da transformada de Laplace. Tipicamente, uma equação linear de coeficientes constantes é transformada em equação algébrica, na qual deve-se basicamente isolar a incógnita obtida e recuperar a solução da equação original via transformada inversa de Laplace.
Deve-se ter em mente que, para a aplicação da transformada de Laplace em equações diferenciais, é necessário que exista sensibilidade, ou conhecimento, sobre suas diversas propriedades.
A transformada de Laplace é é definida como:[1]
Assim definida, a transformada de Laplace tem várias propriedades, em especial, a propriedade da derivada e da integral, essas propriedades podem ser descritas como:[2]
A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original. A transformada de Laplace e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.
Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes
Primeiramente aplicamos a transformada de Laplace,
Podemos aplicar as fórmulas obtidas a cima, ou ainda, utilizarmos a propriedade da derivada da transformada seguido da transformada da derivada. Assim, após substituirmos as condições de contorno, tem-se que
Agora derivamos e separamos as variáveis,
Isto é,
Integramos ambos os lados e manipulamos a equação de forma a obtermos,
Agora com o auxilio da tabela das transformadas inversas e utilizando o condição de contorno , obtemos a função
Sistema linear de equações diferenciais ordinárias
Em um sistema massa-mola, a mola elástica, que obedece a Lei de Hooke e tem constante , possui uma de suas extremidades fixa e a outra presa à um corpo de massa . Considerando que o corpo está sujeito a uma força de atrito proporcional a velocidade com constante de amortecimento que a segunda Lei de Newton descreve o movimento do corpo e o deslocamento em função do tempo, teremos que a aceleração é descrita por e as forças em função do seguinte somatório sendo uma força externa atuante sob o sistema.
Aplicando essas informações na segunda Lei de Newton teremos
Ou seja, a equação para o deslocamento em é dada por
Para o modelo ficar completo precisamos de condições iniciais e
Agora, portanto, iremos usar o método de transformada de Laplace para resolver a equação, aplicando a transformada temos:
Aplicando a propriedade da transformada de Laplace da derivada, teremos
Sabendo que e e impondo as condições inicias:
A solução do problema pode ser representado por
O sistema Oscilador Harmônico pode ser classificado em seis casos:[3]
Oscilador Harmônico Forçado: caso em que ou seja,
Oscilador Harmônico Livre: caso em que isso implica que
Oscilador Harmônico Subamortecido: caso em que e Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos multiplicados por exponenciais.
Oscilador Harmônico Superamortecido: caso em que e Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos hiperbólicos multiplicados por exponenciais, ou seja, são exponenciais puras.
Oscilador Harmônico Criticamente Amortecido: caso em que e Dessa forma, as soluções são do tipo exponenciais multiplicadas por polinômios.
Oscilador Harmônico Não Amortecido: caso em que e Dessa forma, as soluções são do tipo senos e cossenos puros.
Considere um sistema massa-mola duplo, onde as molas possuem constantes e e as massas envolvidas são e . Desconsiderando o amortecimento, temos o seguinte sistema:
.
Onde representam o deslocamento de cada uma das massas e e são as forças externas aplicadas. Usando a Transformada de Laplace, temos:
.
Isto é:
.
A representação matricial do sistema é:
,
e sua solução pode ser escrita como:
,
onde .
Vamos resolver um caso particular onde , , e .
Temos o seguinte sistema massa-mola duplo:
.
Usando a equação , temos:
.
Para completar o sistema, impomos as seguintes condições iniciais: , e.
A evolução da concentração de um medicamento na corrente sanguínea é dada pelo seguinte modelo:
Onde é a concentração do medicamento, é a dosagem e é a taxa em que o organismo metaboliza o medicamento.
Como as dosagens normalmente são ingeridas com uma periodicidade (período ) e são liberadas instantaneamente ( ) na corrente sanguínea, pode-se escrever:
Fazendo a Transformada de Laplace inversa:
Com , e pode-se construir o gráfico da concentração do medicamento no organismo.
Considerando o seguinte mecanismo simplificado de uma reação química:
onde as concentrações de R, S e T são dadas em por ,e, e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
e e são constantes positivas. As concentrações iniciais são dadas por:
Vamos obter a solução dada pelo sistema de funções acima através da Teoria das Transformadas de Laplace. Usando a propriedade da linearidade e a propriedade da derivada,, obtemos:
Da primeira equação temos:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:
Da segunda equação temos:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:
Da terceira equação temos:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace e usando a propriedade da convolução, obtemos:
A figura ao lado, apresenta o gráfico com as soluções para o sistema de equações ordinárias.