Método das transformadas de Laplace para resolver equações diferencais

Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma função de uma variável e suas derivadas ... Equações diferenciais são geralmente complementadas com condições iniciais e são assim chamada problemas de valor inicial. A transformada de Laplace fornece uma metodologia para resolver e analisar problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias. O método consiste em utilizar a transformada de Laplace para converter a equação diferencial em um problema de menor complexidade, através das propriedades da transformada de Laplace. Tipicamente, uma equação linear de coeficientes constantes é transformada em equação algébrica, na qual deve-se basicamente isolar a incógnita obtida e recuperar a solução da equação original via transformada inversa de Laplace.

Deve-se ter em mente que, para a aplicação da transformada de Laplace em equações diferenciais, é necessário que exista sensibilidade, ou conhecimento, sobre suas diversas propriedades.

Equações diferenciais ordináriasEditar

A transformada de Laplace é é definida como:[1]  Assim definida, a transformada de Laplace tem várias propriedades, em especial, a propriedade da derivada e da integral, essas propriedades podem ser descritas como:[2]

A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função   de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original. A transformada de Laplace   e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.

Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantesEditar

  1. Consideremos a equação
     
  2. Transformando os dois lados da equação e usando a propriedade de linearidade, obtém-se
     
  3. Cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da transformada de Laplace,
     
  4. A transformada da equação diferencial é
     
  5. Esta equação é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada, conduzindo à função  
     
  6. A solução da EDO é a transformada inversa da função  
  7. Usando a expansão em frações parciais:
     
  8. Onde       e   são constantes que podem ser calculadas comparando as duas últimas equações,
     
  9. A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente identificada, usando as transformadas calculadas em seções anteriores.
  10. Assim, tem-se que
     

Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveisEditar

  1. Temos o seguinte problema do valor inicial:  
  2. Primeiramente aplicamos a transformada de Laplace,  
  3. Podemos aplicar as fórmulas obtidas a cima, ou ainda, utilizarmos a propriedade da derivada da transformada seguido da transformada da derivada. Assim, após substituirmos as condições de contorno, tem-se que  
  4. Agora derivamos e separamos as variáveis,  
  5. Isto é,  
  6. Integramos ambos os lados e manipulamos a equação de forma a obtermos,  
  7. Agora com o auxilio da tabela das transformadas inversas e utilizando o condição de contorno  , obtemos a função  

Sistema linear de equações diferenciais ordináriasEditar

  1. Para exemplificar, vamos resolver o seguinte problema de valor inicial,  
  2. Aplicamos a Transformada de Laplace em cada uma das equações,  
  3. Onde usamos a propriedade da derivada e a notação  e  
  4. Substituímos as condições iniciais para obter o seguinte sistema de equações algébricas  
  5. Multiplicamos a equação   por     e somamos com a equação   para obter  
  6. Portanto,  
  7. Resolvemos   usando a equação    
  8. As transformadas inversas de   e  são  

Algumas aplicaçõesEditar

Circuito de duas malhasEditar

Considere o circuito da Figura 1 ao lado, constituído de duas malhas com correntes   e   respectivamente. Vamos modelar   e   considerando   e  

Usando a Lei de Kirchoff para obter  

Com   temos  

Aplicamos a Transformada de Laplace e obtemos 

ou seja,  

ou, ainda,  

A solução desse sistema é dada por  

Portanto,  

Aqui percebemos que   e, assim, vamos calcular apenas    

Logo,  

Como    

Oscilador harmônicoEditar

Em um sistema massa-mola, a mola elástica, que obedece a Lei de Hooke e tem constante  , possui uma de suas extremidades fixa e a outra presa à um corpo de massa  . Considerando que o corpo está sujeito a uma força de atrito proporcional a velocidade com constante de amortecimento   que a segunda Lei de Newton descreve o movimento do corpo e   o deslocamento em função do tempo, teremos que a aceleração é descrita por   e as forças em função do seguinte somatório   sendo   uma força externa atuante sob o sistema.

Aplicando essas informações na segunda Lei de Newton   teremos  

Ou seja, a equação para o deslocamento em   é dada por  

Para o modelo ficar completo precisamos de condições iniciais   e  

Agora, portanto, iremos usar o método de transformada de Laplace para resolver a equação, aplicando a transformada temos:

 

Aplicando a propriedade da transformada de Laplace da derivada, teremos  

Sabendo que   e  e impondo as condições inicias:

 

A solução do problema pode ser representado por  

O sistema Oscilador Harmônico pode ser classificado em seis casos:[3]

  1. Oscilador Harmônico Forçado: caso em que   ou seja,  
  2. Oscilador Harmônico Livre: caso em que   isso implica que  
  3. Oscilador Harmônico Subamortecido: caso em que   e   Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos multiplicados por exponenciais.
  4. Oscilador Harmônico Superamortecido: caso em que   e   Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos hiperbólicos multiplicados por exponenciais, ou seja, são exponenciais puras.
  5. Oscilador Harmônico Criticamente Amortecido: caso em que  e   Dessa forma, as soluções são do tipo exponenciais multiplicadas por polinômios.
  6. Oscilador Harmônico Não Amortecido: caso em que   e   Dessa forma, as soluções são do tipo senos e cossenos puros.

Duplo Sistema Massa-MolaEditar

Considere um sistema massa-mola duplo, onde as molas possuem constantes  e  e as massas envolvidas são  e  . Desconsiderando o amortecimento, temos o seguinte sistema:

 .

Onde   representam o deslocamento de cada uma das massas e  e  são as forças externas aplicadas. Usando a Transformada de Laplace, temos:

 .

Isto é:

 .

A representação matricial do sistema é:

 ,

e sua solução pode ser escrita como:

 ,

onde  .

Vamos resolver um caso particular onde  ,  ,  e  .

Temos o seguinte sistema massa-mola duplo:

 .

Usando a equação  , temos:

 .

Para completar o sistema, impomos as seguintes condições iniciais:  ,  e .

 .

Logo,

 ,

e

 .

Usamos frações parciais para escrever:

 

 

 ,

ou seja,  e  

Logo,  e  , então  e  .

 
Deslocamento x(t) do sistema duplo massa mola.

Portanto,

 

e, calculando a transformada inversa, temos:

 

 .

Metabolismo de um medicamentoEditar

A utilização da Transformada de Laplace, neste caso, facilita a solução do problema, pois torna o sistema de equações diferenciais em equações algébricas.

A evolução da concentração de um medicamento na corrente sanguínea é dada pelo seguinte modelo:

 

Onde   é a concentração do medicamento,   é a dosagem e   é a taxa em que o organismo metaboliza o medicamento.

Como as dosagens normalmente são ingeridas com uma periodicidade (período  ) e são liberadas instantaneamente (  ) na corrente sanguínea, pode-se escrever:

 

 

 

Fazendo a Transformada de Laplace inversa:

 

 

Com  ,   e   pode-se construir o gráfico da concentração do medicamento no organismo.

Reação químicaEditar

Considerando o seguinte mecanismo simplificado de uma reação química:

 

onde as concentrações de R, S e T são dadas em   por  ,   e  , e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

 

e   e   são constantes positivas. As concentrações iniciais são dadas por:

 

Vamos obter a solução dada pelo sistema de funções acima através da Teoria das Transformadas de Laplace. Usando a propriedade da linearidade e a propriedade da derivada,, obtemos:

 

 

 

Da primeira equação temos:

 

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos: 

Da segunda equação temos:

 

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:

 

Da terceira equação temos:

 

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace e usando a propriedade da convolução, obtemos:

 

A figura ao lado, apresenta o gráfico com as soluções para o sistema de equações ordinárias.

Referências

Ver tambémEditar