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A distribuição Logística deriva do trabalho de Pierre François Verhulst, Professor de Análise na Faculdade Militar Belga, que utilizou esta distribuição para modelar o crescimento da população na Bélgica no início de 1800 . A teoria da probabilidade e a estatística são dois ramos da Matemática onde a distribuição Logística é classificada como sendo uma distribuição de probabilidade contínua . Um aspeto peculiar é que a distribuição de Tukey Lambda representa uma generalização da distribuição Logística uma vez que o parâmetro $\lambda$ desta distribuição quando igualado a zero corresponde à distribuição Logística .

Notação

Seja $X$ uma variável aleatória contínua. Se $X$ segue uma distribuição Logística com parâmetros $\mu$ e $s$, denota-se por $X\sim L(\mu ,s)$, onde $\mu$ representa o parâmetro de localização e $s$ o parâmetro de escala .

Quando $\mu =0$ e $s=1$, a distribuição Logística é designada por distribuição Logística padrão ou standard, $X\sim L(0,1)$.

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade, abreviada por f.d.p., para a variável aleatória $X$ é dada por

$f(x;\mu ,s)={\dfrac {e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}}{s\left[1+e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}\right]^{2}}}$, onde $x,\mu \in R$ e $s>0$ .

Os parâmetros de localização e de escala influenciam a representação gráfica da f.d.p. da distribuição Logística. Na Figura 1 é possível observar que para diferentes valores do parâmetro de localização a função desloca-se ao longo do eixo das abcissas. O parâmetro de escala influencia a função em termos da sua altura. Consoante os diferentes valores de $s$ a função pode-se tornar mais alta e achatada ou mais baixa e larga. Em geral, a f.d.p. é unimodal e possui apenas um único máximo global (na Figura 1 representa o "pico" da função).

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  Figura 1 - Gráfico da função densidade de probabilidade.

A função secante hiperbólica, designada por $sech$, é dada por $sech(x)={\dfrac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$. A f.d.p. pode ser escrita em termos do quadrado desta função. Assim, é possível reescrever a f.d.p. usando $sech^{2}$ de tal forma que se obtém a seguinte expressão

$f(x;\mu ,s)={\dfrac {1}{s\left[e^{\dfrac {x-\mu }{2s}}+e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{2s}}\right)}\right]^{2}}}={\dfrac {1}{4s}}sech^{2}\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)$, onde $x,\mu \in R$ e $s>0$ .

Função distribuição

A função distribuição para a variável aleatória $X$ é dada por $F(x;\mu ,s)={\dfrac {1}{1+e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}}}$, onde $x,\mu \in R$ e $s>0$ .

A função logística é definida por $f(x)={\dfrac {1}{1+e^{-x}}}$. Verifica-se pela expressão da função distribuição que esta se assemelha à função logística. Deste modo, o gráfico da Figura 2 é muito semelhante ao gráfico da função logística. Pela Figura 2, observa-se que para diferentes valores de $\mu$ e $s$ a curva exibe um crescimento exponencial mais ou menos acentuado.

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  Figura 2 - Gráfico da função distribuição.

A função tangente hiperbólica, designada por $tanh$, é dada por $tanh(x)={\dfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$. A função distribuição pode ser escrita usando a função $tanh$. Assim, a expressão anterior da função distribuição é reescrita obtendo-se

$F(x;\mu ,s)={\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{2}}tanh\left({\dfrac {x-\mu }{2s}}\right)$, onde $x,\mu \in R$ e $s>0$ .

Função Quantil

A inversa da função distribuição é designada por função quantil sendo representada por

$Q(p;\mu ,s)=\mu +slog\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)$, onde $x,\mu \in R$, $s>0$ e $0<p<1$ .

Note-se que a função quantil é uma generalização da função logit . Assim, a função quantil pode ser reescrita obtendo-se

$Q(p;\mu ,s)=\mu +slogit(p)$, onde $0<p<1$.

Além disso, a derivada da função quantil é dada por

$Q'(p;\mu ,s)={\dfrac {s}{p(1-p)}}$, onde $x,\mu \in R$, $s>0$ e $0<p<1$ .

Parametrização alternativa

Uma parametrização alternativa pode ser feita se se considerar que o parâmetro $s$ possa ser substituído por $q\sigma$, onde $q={\dfrac {\sqrt {3}}{\pi }}$, e $\sigma$ passa a ser o novo parâmetro a ter em conta .

Assim, a f.d.p. e a função distribuição para a variável aleatória $X$ podem ser reescritas, respetivamente, tendo em conta as seguintes expressões

$f(x;\mu ,s)={\dfrac {\pi }{\sigma {\sqrt {3}}}}{\dfrac {e^{-\left({\dfrac {\pi (x-\mu )}{\sigma {\sqrt {3}}}}\right)}}{\left[1+e^{-\left({\dfrac {\pi (x-\mu )}{\sigma {\sqrt {3}}}}\right)}\right]^{2}}}$ e $F(x;\mu ,s)={\dfrac {1}{1+e^{-\left({\dfrac {\pi (x-\mu )}{\sigma {\sqrt {3}}}}\right)}}}$, onde para ambas $x,\mu \in R$ e $\sigma >0$.

Propriedades

As propriedades mais importantes de uma distribuição dizem respeito ao valor esperado (também designado por esperança ou média), variância, moda, mediana e função geradora de momentos. Assim, considerando a variável aleatória $X$ as propriedades desta variável são dadas pelas seguintes expressões, respetivamente .

$E(X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle xf(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle {\dfrac {xe^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}}{s\left[1+e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}\right]^{2}}}=\mu$

$V(X)=E(X)-(E(X))^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle {\dfrac {x^{2}e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}}{s\left[1+e^{-\left({\dfrac {x-\mu }{s}}\right)}\right]^{2}}}-\mu ^{2}={\dfrac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}$

$Moda=Mediana=\mu$

$M(t)=e^{\mu t}\Gamma ({1-st})\Gamma ({1+st}),|t|<{\dfrac {1}{s}}$

Note-se que na expressão da função geradora de momentos a letra $\Gamma$ designa a função Gama.

Outras duas propriedades que não são muito estudadas são a assimetria e a curtose. A assimetria é uma propriedade que referencia a assimetria da distribuição e para este caso a medidade de assimetria é $0$, uma vez que a distribuição Logística é simétrica . A curtose é uma medida de forma que caracteriza o achatamento da curva da f.d.p. das distribuições. Para a distribuição em causa o valor da curtose é $1,2$ . Pelo facto da f.d.p. desta distribuição ser muito semelhante à f.d.p. da distribuição Normal, o valor da curtose ao ser um valor positivo maior que zero significa que a distribuição Logística é mais alta e afunilada que a distribuição Normal .

Aplicações

A distribuição logística foi investigada pela primeira vez pelo matemático francês Pierre Verhulst nas décadas de 1830 e 1840 e recebeu seu nome num artigo de 1929 de Reed e Berkson . Embora o interesse original de Verhulst tenha sido no estudo da demografia e na modelagem de populações humanas, um dos principais usos da distribuição Logística historicamente tem sido em estatística como uma ferramenta na chamada regressão logística .

Ainda hoje, no entanto, a distribuição logística é uma ferramenta frequentemente utilizada na análise de sobrevivência, onde é preferível sobre distribuições qualitativamente similares por exemplo, a distribuição Normal . As ferramentas derivadas e inspiradas pela distribuição Logística são geralmente usadas para representar dados de tolerância em várias ciências da vida, incluindo zoologia e fisiologia, e a própria distribuição é usada em finanças matemáticas para modelar o risco de vários ativos financeiros . A distribuição Logística também pode modelar uma série de fenômenos, incluindo a disseminação de doenças, crescimento celular e a disseminação de inovações .

Um facto interessante é que a Federação de Xadrez dos Estados Unidos e a Federação Mundial de Xadrez (FIDE) usam a distribuição Logística para calcular o nível de habilidade relativa dos jogadores de xadrez . Anteriormente, ambos usavam a distribuição Normal .

Aplicação no software R

No software R, para usar a distribuição Logística é necessário a instalação do package stats que contém os comandos referentes à f.d.p., à função distribuição e à função quantil . Além disso, também é possível gerar números aleatórios que seguem esta distribuição . Para se usar os comandos é crucial definir primeiro os parâmetros de localização e escala. Note-se que se estes parâmetros não forem definidos previamente o software R assume por defeito que o parâmetro de localização é $0$, e o parâmetro de escala é $1$.

Existindo um package que contém as funções essenciais da distribuição Logística não é necessário o utilizador definir essas funções. No entanto, para exemplos ilustrativos realizou-se um pequeno exercício que demonstra que definir a função ou utilizar os comandos do R, para um determinado valor de uma sequência, os resultados são iguais. Os scripts do R encontram-se nas Figuras 3, 5, 7 e 8.

Suponha-se que se considera os parâmetros de localização e escala definidos por $\mu =2$ e $s=1$, respetivamente, e define-se $x$ como sendo uma sequência de valores entre $-10$ e $10$ de tamanho $100$. Caso o utilizador queira definir ele próprio a f.d.p. deve utilizar o comando function() e inserir a expressão correspondente. Através do comando plot() pode-se ter acesso ao gráfico da f.d.p. definida para a sequência de valores de $x$. No script da Figura 3, definiu-se a função da f.d.p., fez-se o gráfico desta função que pode ser visto na Figura 4, e por fim para um valor da sequência, $x=6$, determinou-se o valor da função neste ponto. De seguida, utilizou-se o comando do R, dlogis(), que representa a f.d.p. já definida pelo próprio software, e calculou-se também para o mesmo valor da sequência definido anteriormente. É espectável que estando todos os comandos bem definidos o valor é exatamente igual. Assim, considerando ambos os comandos o valor da f.d.p., para $x=6$, é dado por $0,0177$.

Figura 4 - Gráfico da f.d.p. para a sequência definida.

Figura 3 - Script da f.d.p.

Realizou-se o mesmo processo para a função distribuição. O comando do R para esta função é designado por plogis(). O valor da sequência escolhido foi $5$. E, tal como seria de esperar, para ambos os comandos o valor da função distribuição para $x=5$ é dado por $0,9526$. Na Figura 5, visualiza-se o script do R para a função distribuição e o gráfico desta função, para a sequência de valores definida no script, encontra-se na Figura 6.

Figura 6 - Gráfico da função distribuição para a sequência definida.

Figura 5 - Script da função distribuição.

A função quantil é representada pelo comando qlogis(). Uma vez que a função quantil é definida por um logartimo esta função apenas calcula quantis para valores entre $0$ e $1$. Definiu-se a função quantil também pelo comando function() e, para fazer a sua representação gráfica considerou-se uma sequência de valores para $p$ entre $0$ e $1$ de tamanho $100$. De seguida, calculou-se o 1º Quartil, para $p={\dfrac {1}{4}}$, a mediana, para $p={\dfrac {1}{2}}$ e o 3º Quartl, para $p={\dfrac {3}{4}}$ usando a função definida e o comando já existente no R, com parâmetros definidos por $\mu =2$ e $s=1$. Na Figura 8, encontra-se o script do R para a função quantil. Assim, para o 1º Quartil obteve-se uma quantil de $0,9014$, para a mediana um quantil de $2,0000$ e, para o 3º Quartil um quantil de $3,0986$.

Figura 9 - Gráfico da função quantil para a sequência definida.

Figura 8 - Script da função quantil.

Para os exemplos anteriores, considerou-se um valor inicial fixo. No entanto, o comando rlogis() permite gerar valores aleatórios da distribuição em causa para um determinando conjunto de observações. No script do R da Figura 7, gerou-se $100$ observações da distribuição Logística com parâmetros $4$ e $2$ para a localização e escala, respetivamente.

Figura 7 - Script da geração de números aleatórios.

Todas as distribuições possuem um package que utilizando o software R o utilizador tem acesso às funções que lhes são correspondentes. Assim, uma vez que todas as distribuições são cruciais para diversos estudos, graças a esses packages não é necessário que o utilizador perca tempo em definir cada uma das funções.